Cálculo Ejemplos

$3 {(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{2} (- 5 - 4 x + 28 x^{3})$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int {(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{2} (- 5 - 4 x + 28 x^{3}) d x$

Paso 2

Sea $u = 6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ . Entonces $d u = (- 5 - 4 x + 28 x^{3}) d x$ , de modo que $\frac{1}{- 5 - 4 x + 28 x^{3}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Paso 2.1.2.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$0 - 5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 5 - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 - 5 - 4 x + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Paso 2.1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

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Paso 2.1.5.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{4}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - 5 - 4 x + 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$0 - 5 - 4 x + 7 (4 x^{3})$

Paso 2.1.5.3

Multiplica $4$ por $7$ .

$0 - 5 - 4 x + 28 x^{3}$

Paso 2.1.6

Simplifica.

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Paso 2.1.6.1

Resta $5$ de $0$ .

$- 5 - 4 x + 28 x^{3}$

Paso 2.1.6.2

Reordena los términos.

$28 x^{3} - 4 x - 5$

Paso 2.1.7

Reorganiza los términos.

$- 4 x - 5 + 28 x^{3}$

Paso 2.1.8

Reorganiza los términos.

$- 5 - 4 x + 28 x^{3}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int u^{2} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Paso 4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 u^{3} + C$

Paso 4.2.3

Multiplica $u^{3}$ por $1$ .

$u^{3} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ .

${(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{3} + C$