Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{50} (2 i - 1) (2 i + 1)$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Expande $(2 i - 1) (2 i + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 i (2 i + 1) - 1 (2 i + 1)$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i + 1)$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot 1$

Paso 1.2

Combina los términos opuestos en $2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot 1$ .

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Paso 1.2.1

Reordena los factores en los términos $2 i \cdot 1$ y $- 1 (2 i)$ .

$2 i (2 i) + 1 \cdot 2 i - 1 \cdot 2 i - 1 \cdot 1$

Paso 1.2.2

Resta $2 i$ de $1 \cdot 2 i$ .

$2 i (2 i) + 0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.2.3

Suma $2 i (2 i)$ y $0$ .

$2 i (2 i) - 1 \cdot 1$

Paso 1.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 i \cdot i - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.2

Multiplica $i$ por $i$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.2.1

Mueve $i$ .

$2 \cdot 2 (i \cdot i) - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $i$ por $i$ .

$2 \cdot 2 i^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 i^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 i^{2} - 1$

Paso 1.4

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{50} 4 i^{2} - 1$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{i = 1}^{50} 4 i^{2} - 1 = 4 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + \sum_{i = 1}^{50} - 1$

Paso 3

Evalúa $4 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $2$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.1

Suma $50$ y $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2

Combina exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Multiplica $50$ por $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Paso 3.3.1.3

Suma $100$ y $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Paso 3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $2550$ por $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{257550}{6}$

Paso 3.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{257550}{3})$

Paso 3.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

Paso 3.3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.4.1

Multiplica $2$ por $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

Paso 3.3.2.4.2

Divide $515100$ por $3$ .

$171700$

Paso 4

Evalúa $\sum_{i = 1}^{50} - 1$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(- 1) (50)$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $50$ .

$- 50$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$171700 - 50$

Paso 6

Resta $50$ de $171700$ .

$171650$