Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 0}^{9} {(- \frac{3}{5})}^{k}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Sustituye $a_{k}$ y $a_{k + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 1}}{{(- \frac{3}{5})}^{k}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1}$ y ${(- \frac{3}{5})}^{k}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza ${(- \frac{3}{5})}^{k}$ de ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k} (- \frac{3}{5})}{{(- \frac{3}{5})}^{k}}$

Paso 2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k} (- \frac{3}{5})}{{(- \frac{3}{5})}^{k} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k} (- \frac{3}{5})}{{(- \frac{3}{5})}^{k} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{- \frac{3}{5}}{1}$

Paso 2.2.2.4

Divide $- \frac{3}{5}$ por $1$ .

$r = - \frac{3}{5}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $0$ por $k$ en ${(- \frac{3}{5})}^{k}$ .

$a = {(- \frac{3}{5})}^{0}$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{5}$ .

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{3}{5})}^{0}$

Paso 3.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{5}$ .

$a = {(- 1)}^{0} \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Paso 3.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 1 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Paso 3.2.3

Multiplica $\frac{3^{0}}{5^{0}}$ por $1$ .

$a = \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Paso 3.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = \frac{1}{5^{0}}$

Paso 3.2.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Paso 3.2.6

Divide $1$ por $1$ .

$a = 1$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$1 \frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{10}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica $\frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{10}}{1 - - \frac{3}{5}}$ por $1$ .

$\frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{10}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{5}$ .

$\frac{1 - ({(- 1)}^{10} {(\frac{3}{5})}^{10})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{5}$ .

$\frac{1 - ({(- 1)}^{10} \frac{3^{10}}{5^{10}})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{10}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Mueve ${(- 1)}^{10}$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{10} \cdot - 1 \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{10}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{10} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + {(- 1)}^{10 + 1} \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.2.3

Suma $10$ y $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{11} \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $11$ .

$\frac{1 - \frac{3^{10}}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $10$ .

$\frac{1 - \frac{59049}{5^{10}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.5

Eleva $5$ a la potencia de $10$ .

$\frac{1 - \frac{59049}{9765625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{9765625}{9765625} - \frac{59049}{9765625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{9765625 - 59049}{9765625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.2.8

Resta $59049$ de $9765625$ .

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Multiplica $- - \frac{3}{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{1 + 1 (\frac{3}{5})}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $\frac{3}{5}$ por $1$ .

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{1 + \frac{3}{5}}$

Paso 5.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}$

Paso 5.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{\frac{5 + 3}{5}}$

Paso 5.3.4

Suma $5$ y $3$ .

$\frac{\frac{9706576}{9765625}}{\frac{8}{5}}$

Paso 5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{9706576}{9765625} \cdot \frac{5}{8}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Factoriza $8$ de $9706576$ .

$\frac{8 (1213322)}{9765625} \cdot \frac{5}{8}$

Paso 5.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 \cdot 1213322}{9765625} \cdot \frac{5}{8}$

Paso 5.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1213322}{9765625} \cdot 5$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Factoriza $5$ de $9765625$ .

$\frac{1213322}{5 (1953125)} \cdot 5$

Paso 5.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{1213322}{5 \cdot 1953125} \cdot 5$

Paso 5.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1213322}{1953125}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1213322}{1953125}$

Forma decimal:

$0.62122086 \dots$