Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{1000} \frac{8 i + 9}{1000^{2}}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Eleva $1000$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8 i + 9}{1000000}$

Paso 1.2

Reescribe la suma.

$\sum_{i = 1}^{1000} \frac{8 i + 9}{1000000}$

Paso 2

Divide la suma en sumas más pequeñas de acuerdo con la reglas de suma.

$\sum_{i = 1}^{1000} \frac{i}{125000} + \frac{9}{1000000} = \sum_{i = 1}^{1000} \frac{i}{125000} + \sum_{i = 1}^{1000} \frac{9}{1000000}$

Paso 3

Evalúa $\sum_{i = 1}^{1000} \frac{i}{125000}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $\frac{1}{125000}$ fuera de la suma.

$\frac{1}{125000} \sum_{k = 1}^{1000} i$

Paso 3.2

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.3

Sustituye los valores en la fórmula y asegúrate de multiplicar por el término frontal.

$(\frac{1}{125000}) (\frac{1000 (1000 + 1)}{2})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1.1

Suma $1000$ y $1$ .

$\frac{1}{125000} \cdot \frac{1000 \cdot 1001}{2}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $1000$ por $1001$ .

$\frac{1}{125000} \cdot \frac{1001000}{2}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común de $1000$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $1000$ de $125000$ .

$\frac{1}{1000 (125)} \cdot \frac{1001000}{2}$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $1000$ de $1001000$ .

$\frac{1}{1000 \cdot 125} \cdot \frac{1000 \cdot 1001}{2}$

Paso 3.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1000 \cdot 125} \cdot \frac{1000 \cdot 1001}{2}$

Paso 3.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{125} \cdot \frac{1001}{2}$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{1}{125}$ por $\frac{1001}{2}$ .

$\frac{1001}{125 \cdot 2}$

Paso 3.4.4

Multiplica $125$ por $2$ .

$\frac{1001}{250}$

Paso 4

Evalúa $\sum_{i = 1}^{1000} \frac{9}{1000000}$ .

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Paso 4.1

La fórmula para la suma de una constante es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Paso 4.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$(\frac{9}{1000000}) (1000)$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $1000$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $1000$ de $1000000$ .

$\frac{9}{1000 (1000)} \cdot 1000$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{9}{1000 \cdot 1000} \cdot 1000$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{1000}$

Paso 5

Suma los resultados de las sumas.

$\frac{1001}{250} + \frac{9}{1000}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Para escribir $\frac{1001}{250}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1001}{250} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{1000}$

Paso 6.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $1000$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.1

Multiplica $\frac{1001}{250}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1001 \cdot 4}{250 \cdot 4} + \frac{9}{1000}$

Paso 6.2.2

Multiplica $250$ por $4$ .

$\frac{1001 \cdot 4}{1000} + \frac{9}{1000}$

Paso 6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1001 \cdot 4 + 9}{1000}$

Paso 6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $1001$ por $4$ .

$\frac{4004 + 9}{1000}$

Paso 6.4.2

Suma $4004$ y $9$ .

$\frac{4013}{1000}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{4013}{1000}$

Forma decimal:

$4.013$

Forma de número mixto:

$4 \frac{13}{1000}$