Cálculo Ejemplos

$\int_{- 2}^{2 x} (3 t^{2} + 2 t) d t$

Paso 1

Calcula la derivada de $\int_{- 2}^{2 x} 3 t^{2} + 2 t d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$\frac{d}{d x} [2 x] (3 {(2 x)}^{2} + 2 (2 x))$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] (3 {(2 x)}^{2} + 2 (2 x))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 (3 {(2 x)}^{2} + 2 (2 x))$

Paso 2.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 (3 {(2 x)}^{2} + 2 (2 x))$

Paso 2.3.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2 (3 {(2 (x))}^{2} + 2 (2 x))$

Paso 2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.1

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$2 (3 (2^{2} x^{2}) + 2 (2 x))$

Paso 2.3.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 (3 (4 x^{2}) + 2 (2 x))$

Paso 2.3.3.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$2 (12 x^{2} + 2 (2 x))$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 (12 x^{2} + 4 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (12 x^{2}) + 2 (4 x)$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Multiplica $12$ por $2$ .

$24 x^{2} + 2 (4 x)$

Paso 3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$24 x^{2} + 8 x$