Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{1 + t^{3}} d t$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{1^{3} + t^{3}} d t]$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

Paso 1.3.2

Reescribe $- 1 t$ como $- t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

Paso 2

Calcula la derivada de $\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ con respecto a $x$ mediante el teorema fundamental del cálculo.

$\frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$