Cálculo Ejemplos

$\int_{- k}^{k} \sqrt{k^{2} - x^{2}} d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{k^{2} - x^{2}}$ como ${(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 2

Divide la integral en dos integrales en los que $c$ sea algún valor entre $- k$ y $k$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 3

Según la regla de la suma, la derivada de $\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ con respecto a $k$ es $\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 4

Intercambia las cotas de integración.

$\frac{d}{d k} [- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 5

Calcula la derivada de $- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ con respecto a $k$ mediante el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena.

$\frac{d}{d k} [- k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $- k$ con respecto a $k$ es $- \frac{d}{d k} [k]$ .

$- \frac{d}{d k} [k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ es $n k^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Paso 7

Calcula la derivada de $\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ con respecto a $k$ mediante el teorema fundamental del cálculo.

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Factoriza $- 1$ de $- k$ .

$- - {(k^{2} - {(- (k))}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.2

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.1

Aplica la regla del producto a $- (k)$ .

$- - {(k^{2} - ({(- 1)}^{2} k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- - {(k^{2} - (1 k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.2.3

Multiplica $k^{2}$ por $1$ .

$- - {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.3

Resta $k^{2}$ de $k^{2}$ .

$- - 0^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 8.4.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- - {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.5.1

Cancela el factor común.

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.5.2

Reescribe la expresión.

$- - 0^{1} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.6

Evalúa el exponente.

$- - 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.7

Multiplica por cero.

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Paso 8.7.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.7.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.8

Resta $k^{2}$ de $k^{2}$ .

$0 + 0^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.9

Simplifica la expresión.

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Paso 8.9.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$0 + {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 8.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 8.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.10.1

Cancela el factor común.

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 8.10.2

Reescribe la expresión.

$0 + 0^{1}$

Paso 8.11

Evalúa el exponente.

$0 + 0$

Paso 8.12

Suma $0$ y $0$ .

$0$