Cálculo Ejemplos

$f (x) = 10 x - 10 e^{- x}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x - 10 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$10 - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$10 - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$10 - 10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 1.1.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$10 - 10 (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 1.1.1.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$10 - 10 (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 1.1.1.3.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$10 - 10 (- e^{- x})$

Paso 1.1.1.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$10 + 10 e^{- x}$

Paso 1.1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 10 e^{- x} + 10$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 e^{- x} + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.1.2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.1.2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.1.2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.1.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$10 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.1.2.2.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.1.2.2.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$10 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.1.2.2.8

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 e^{- x} + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.2.3.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 10 e^{- x} + 0$

Paso 1.1.2.3.2

Suma $- 10 e^{- x}$ y $0$ .

$f'' (x) = - 10 e^{- x}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 e^{- x}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 10 e^{- x} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 10 e^{- x} = 0$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $- 10 e^{- x} = 0$ por $- 10$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $- 10 e^{- x} = 0$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $e^{- x}$ por $1$ .

$e^{- x} = \frac{0}{- 10}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Divide $0$ por $- 10$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 1.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 1.2.4

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 1.2.5

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

La gráfica es cóncava porque la segunda derivada es negativa.

La gráfica es cóncava.

Paso 4