Cálculo Ejemplos

$h (t) = \frac{t}{t - 8}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = t - 8$ .

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t - 8) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $t - 8$ por $1$ .

$\frac{t - 8 - t \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 8$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{t - 8 - t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{t - 8 - t (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $- 8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{t - 8 - t (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{t - 8 - t \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{t - 8 - t}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.6.3

Resta $t$ de $t$ .

$\frac{0 - 8}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.4.1

Resta $8$ de $0$ .

$\frac{- 8}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 1.2.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}}$ con respecto a $t$ es $- 8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t - 8)}^{2}}]$ .

$h'' (t) = - 8 \frac{d}{d t} \frac{1}{{(t - 8)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(t - 8)}^{2}}$ como ${({(t - 8)}^{2})}^{- 1}$ .

$h'' (t) = - 8 \frac{d}{d t} {({(t - 8)}^{2})}^{- 1}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(t - 8)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (t) = - 8 \frac{d}{d t} {(t - 8)}^{2 \cdot - 1}$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$h'' (t) = - 8 \frac{d}{d t} {(t - 8)}^{- 2}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 2}$ y $g (t) = t - 8$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t - 8$ .

$h'' (t) = - 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d t} (t - 8))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$h'' (t) = - 8 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} (t - 8))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t - 8$ .

$h'' (t) = - 8 (- 2 {(t - 8)}^{- 3} \frac{d}{d t} (t - 8))$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 2$ por $- 8$ .

$h'' (t) = 16 ({(t - 8)}^{- 3} \frac{d}{d t} (t - 8))$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 8$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$h'' (t) = 16 {(t - 8)}^{- 3} (\frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (- 8))$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$h'' (t) = 16 {(t - 8)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d t} (- 8))$

Paso 2.3.4

Como $- 8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $t$ es $0$ .

$h'' (t) = 16 {(t - 8)}^{- 3} (1 + 0)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$h'' (t) = 16 {(t - 8)}^{- 3} \cdot 1$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $16$ por $1$ .

$h'' (t) = 16 {(t - 8)}^{- 3}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (t) = 16 (\frac{1}{{(t - 8)}^{3}})$

Paso 2.4.2

Combina $16$ y $\frac{1}{{(t - 8)}^{3}}$ .

$h'' (t) = \frac{16}{{(t - 8)}^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{8}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales