Cálculo Ejemplos

$\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{\frac{1}{y - 2}}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$ .

$\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$

Paso 2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{\frac{1}{y - 2}}}^{2} = x^{2}$

Paso 2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{1}{y - 2}}$ como ${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{1}{y - 2})}^{1} = x^{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Simplifica.

$\frac{1}{y - 2} = x^{2}$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y - 2, 1$

Paso 2.4.1.2

Elimina los paréntesis.

$y - 2, 1$

Paso 2.4.1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y - 2$

Paso 2.4.2

Multiplica cada término en $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ por $y - 2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ por $y - 2$ .

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Paso 2.4.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = x^{2} (y - 2)$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = x^{2} y + x^{2} \cdot - 2$

Paso 2.4.2.3.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$1 = x^{2} y - 2 x^{2}$

Paso 2.4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} y - 2 x^{2} = 1$ .

$x^{2} y - 2 x^{2} = 1$

Paso 2.4.3.2

Suma $2 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$

Paso 2.4.3.3

Divide cada término en $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 2.4.3.3.1

Divide cada término en $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.4.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.4.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.4.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.4.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.3.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.4.3.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.4.3.3.3.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\sqrt{\frac{1}{x - 2}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.3.1.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ por $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.2.3.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ por $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{x - 2}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{x - 2}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.4.6

Reescribe ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ como $x - 2$ .

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Paso 4.2.3.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.4.6.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Paso 4.2.3.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{x - 2}}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Paso 4.2.3.1.6

Reescribe ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ como $x - 2$ .

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Paso 4.2.3.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Paso 4.2.3.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Paso 4.2.3.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Paso 4.2.3.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Paso 4.2.3.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Paso 4.2.3.1.6.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Paso 4.2.3.1.7

Cancela el factor común de $x - 2$ y ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 4.2.3.1.7.1

Multiplica por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Paso 4.2.3.1.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.1.7.2.1

Factoriza $x - 2$ de ${(x - 2)}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Paso 4.2.3.1.7.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Paso 4.2.3.1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Paso 4.2.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = 1 (x - 2) + 2$

Paso 4.2.3.3

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x - 2 + 2$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 2 + 2$ .

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Paso 4.2.4.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{1}{x^{2}} + 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{(\frac{1}{x^{2}} + 2) - 2}}$

Paso 4.3.3

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + 0}}$

Paso 4.3.4

Suma $\frac{1}{x^{2}}$ y $0$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 4.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{1 x^{2}}$

Paso 4.3.6

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Paso 4.3.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$