Cálculo Ejemplos

$| 8 - x^{2} |$

Paso 1

Escribe $| 8 - x^{2} |$ como una función.

$f (x) = | 8 - x^{2} |$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 - x^{2}$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.2.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- (2 x))$

Paso 2.2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- 2 x)$

Paso 2.2.6.2

Combina $- 2$ y $\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} x$

Paso 2.2.6.3

Combina $\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ y $x$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 2.2.6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 (8 - x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.3.2.1

Mueve $x$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{16 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 2.3.3.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{3})}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 2.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{16 x - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 2.3.4

Factoriza $2 x$ de $16 x - 2 x^{3}$ .

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Paso 2.3.4.1

Factoriza $2 x$ de $16 x$ .

$- \frac{2 x (8) - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 2.3.4.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (8) + 2 x (- x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 2.3.4.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (8) + 2 x (- x^{2})$ .

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x (8 - x^{2})$ y $g (x) = | 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x (8 - x^{2})) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.4.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (- x^{2}) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (- \frac{d}{d x} x^{2}) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (- (2 x)) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (- 2 x) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{1 + 1} + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (8 - x^{2}) \cdot 1) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.8.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.8.3.1

Multiplica $8 - x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{2} + 8 - x^{2}) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.8.3.2

Resta $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Paso 3.9.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.9.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.9.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) (\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.10

Diferencia.

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Paso 3.10.1

Combina $\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ y $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.10.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.10.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.10.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.10.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.10.6

Multiplica.

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Paso 3.10.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + 1 (\frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}) \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.10.6.2

Multiplica $\frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.10.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (2 x))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.10.8

Combina fracciones.

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Paso 3.10.8.1

Combina $2$ y $\frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{2 ((8 - x^{2}) x)}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) x)}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.10.8.2

Combina $x$ y $\frac{2 ((8 - x^{2}) x)}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x (2 ((8 - x^{2}) x))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x \cdot x (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x \cdot x (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{1 + 1} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.14

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.15

Combina $- 2$ y $\frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17

Simplifica.

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Paso 3.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 \cdot 8 + 2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8)) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.17.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.17.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2}) + | 8 - x^{2} | \cdot 8) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 8 - x^{2} | x^{2} + | 8 - x^{2} | \cdot 8) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.3

Mueve $8$ a la izquierda de $| 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 8 - x^{2} | x^{2} + 8 \cdot | 8 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 8 - x^{2} | x^{2}) + 2 (8 | 8 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.5

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 8 - x^{2} | x^{2}) + 2 (8 | 8 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.6

Multiplica $8$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 8 - x^{2} | x^{2}) + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.17.4.1.7.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} \cdot 16 + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.7.2

Mueve $16$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 \cdot x^{2} + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.7.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.7.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.1.7.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.7.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.7.4.3

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{4})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.7.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} - 2 x^{4}}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.7.6

Factoriza $2 x^{2}$ de $16 x^{2} - 2 x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.1.7.6.1

Factoriza $2 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8) - 2 x^{4}}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.7.6.2

Factoriza $2 x^{2}$ de $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8) + 2 x^{2} (- x^{2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.7.6.3

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (8) + 2 x^{2} (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.8

Multiplica $\frac{2 x^{2} (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ por $8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8 - x^{2}) (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.1.9.1

Eleva $8 - x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((8 - x^{2}) (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.9.2

Eleva $8 - x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((8 - x^{2}) (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.9.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{1 + 1}}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.9.4

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.10

Multiplica $2 \frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

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Paso 3.17.4.1.10.1

Combina $2$ y $\frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 (2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.1.10.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + \frac{4 (x^{2} {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + \frac{4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.2

Para escribir $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | - 6 | 8 - x^{2} | x^{2} \cdot \frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.3

Combina $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2}$ y $\frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} | + 4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.1

Factoriza $2 x^{2}$ de $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} | + 4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.1.1

Factoriza $2 x^{2}$ de $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.1.2

Factoriza $2 x^{2}$ de $4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.1.3

Factoriza $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(8 - x^{2})}^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.2

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.2.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.2.2

Eleva $8 - x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.2.3

Eleva $8 - x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(8 - x^{2})}^{1 + 1} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(8 - x^{2})}^{2} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.3.1

Reescribe ${(8 - x^{2})}^{2}$ como $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.2

Expande $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 (8 - x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.3.3.1.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.3.1.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.3.3.1.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.3.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.3.1.5.3

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 1 x^{4} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.3.1.7

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + x^{4} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.3.2

Resta $8 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.4

Reescribe ${(8 - x^{2})}^{2}$ como $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 ((8 - x^{2}) (8 - x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.5

Expande $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (8 (8 - x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.6

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.3.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.3.6.1.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.6.1.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.6.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.6.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.3.6.1.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.6.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.6.1.5.3

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 1 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.6.1.7

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.6.2

Resta $8 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 16 x^{2} + x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 \cdot 64 + 2 (- 16 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.5.3.8.1

Multiplica $2$ por $64$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 + 2 (- 16 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.5.3.8.2

Multiplica $- 16$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.6

Para escribir $16 | 8 - x^{2} |$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |} + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.17.4.8.1

Factoriza $2$ de $16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.8.1.1

Factoriza $2$ de $16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.1.2

Factoriza $2$ de $2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.1.3

Factoriza $2$ de $2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.2

Multiplica $8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |$ .

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Paso 3.17.4.8.2.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.2.2

Eleva $8 - x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.2.3

Eleva $8 - x^{2}$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | {(8 - x^{2})}^{1 + 1} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | {(8 - x^{2})}^{2} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.3

Reescribe ${(8 - x^{2})}^{2}$ como $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.4

Expande $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.8.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 (8 - x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.17.4.8.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.8.5.1.1

Multiplica $8$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.5.1.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.5.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.8.5.1.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.5.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.5.1.5.3

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.5.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 1 x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.5.1.7

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.5.2

Resta $8 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} |) + x^{2} \cdot 128 + x^{2} (- 32 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.8.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + x^{2} \cdot 128 + x^{2} (- 32 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.7.2

Mueve $128$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 \cdot x^{2} + x^{2} (- 32 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.7.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 \cdot x^{2} - 32 x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 \cdot x^{2} - 32 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.8

Simplifica cada término.

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Paso 3.17.4.8.8.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.8.8.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{2 + 2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.8.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.17.4.8.8.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 (x^{4} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{4 + 2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.4.8.8.2.3

Suma $4$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.5

Combina los términos.

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Paso 3.17.5.1

Reescribe $\frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$ como un producto.

$f'' (x) = - (\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |} \cdot \frac{1}{{| 8 - x^{2} |}^{2}})$

Paso 3.17.5.2

Multiplica $\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |}$ por $\frac{1}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} | {| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.5.3

Multiplica $| 8 - x^{2} |$ por ${| 8 - x^{2} |}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.17.5.3.1

Multiplica $| 8 - x^{2} |$ por ${| 8 - x^{2} |}^{2}$ .

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Paso 3.17.5.3.1.1

Eleva $| 8 - x^{2} |$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} | {| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Paso 3.17.5.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 8 - x^{2} |}^{1 + 2}}$

Paso 3.17.5.3.2

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 8 - x^{2} |}^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Paso 5.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Paso 5.1.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Paso 5.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 - x^{2}$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 5.1.2.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 5.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 5.1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 5.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- (2 x))$

Paso 5.1.2.6

Combina fracciones.

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Paso 5.1.2.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- 2 x)$

Paso 5.1.2.6.2

Combina $- 2$ y $\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} x$

Paso 5.1.2.6.3

Combina $\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ y $x$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.1.2.6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 (8 - x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.1.3.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.1.3.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.3.2.1

Mueve $x$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.1.3.3.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.1.3.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{16 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.1.3.3.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{3})}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.1.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{16 x - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.1.3.4

Factoriza $2 x$ de $16 x - 2 x^{3}$ .

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Paso 5.1.3.4.1

Factoriza $2 x$ de $16 x$ .

$- \frac{2 x (8) - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.1.3.4.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (8) + 2 x (- x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.1.3.4.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (8) + 2 x (- x^{2})$ .

$f' (x) = - \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ .

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x (8 - x^{2}) = 0$

Paso 6.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$8 - x^{2} = 0$

Paso 6.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.3.3

Establece $8 - x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.3.1

Establece $8 - x^{2}$ igual a $0$ .

$8 - x^{2} = 0$

Paso 6.3.3.2

Resuelve $8 - x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 8$

Paso 6.3.3.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 6.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 6.3.3.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 6.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.2.3.1

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Paso 6.3.3.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{8}$

Paso 6.3.3.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{8}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.4.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.4.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Paso 6.3.3.2.4.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 6.3.3.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 6.3.3.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 \sqrt{2}$

Paso 6.3.3.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Paso 6.3.3.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Paso 6.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (8 - x^{2}) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Paso 6.4

Excluye las soluciones que no hagan que $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$ sea verdadera.

$x = 0$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| 8 - x^{2} | = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x$

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Paso 7.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$8 - x^{2} = \pm 0$

Paso 7.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$8 - x^{2} = 0$

Paso 7.2.3

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 8$

Paso 7.2.4

Divide cada término en $- x^{2} = - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.2.4.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 7.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 7.2.4.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Paso 7.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.4.3.1

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Paso 7.2.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{8}$

Paso 7.2.6

Simplifica $\pm \sqrt{8}$ .

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Paso 7.2.6.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.6.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Paso 7.2.6.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 7.2.6.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 7.2.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.2.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 \sqrt{2}$

Paso 7.2.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Paso 7.2.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Paso 7.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 2 \sqrt{2}, x = 2 \sqrt{2}$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 (8 | 64 - 16 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | - 3 {(0)}^{2} | 64 - 16 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | + 128 {(0)}^{2} - 32 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{6})}{{| 8 - {(0)}^{2} |}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 - 16 \cdot 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.1.2

Multiplica $- 16$ por $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 + 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 + 0 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.2

Suma $64$ y $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.3

Suma $64$ y $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $64$ es $64$ .

$- \frac{2 (8 \cdot 64 - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.5

Multiplica $8$ por $64$ .

$- \frac{2 (512 - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 (512 - 3 \cdot 0 | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.7

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.8

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.8.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 - 16 \cdot 0 + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.8.2

Multiplica $- 16$ por $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 + 0 + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.8.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 + 0 + 0 | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.9

Suma $64$ y $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 + 0 | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.10

Suma $64$ y $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.11

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $64$ es $64$ .

$- \frac{2 (512 + 0 \cdot 64 + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.12

Multiplica $0$ por $64$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.13

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 128 \cdot 0 - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.14

Multiplica $128$ por $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.15

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 - 32 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.16

Multiplica $- 32$ por $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.17

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.18

Multiplica $2$ por $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.19

Suma $512 + 0 + 0 + 0$ y $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.20

Suma $512 + 0 + 0$ y $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.21

Suma $512 + 0$ y $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.1.22

Suma $512$ y $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 - 0 |}^{3}}$

Paso 10.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 + 0 |}^{3}}$

Paso 10.2.3

Suma $8$ y $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 |}^{3}}$

Paso 10.2.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $8$ es $8$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{8^{3}}$

Paso 10.2.5

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{512}$

Paso 10.3

Simplifica la expresión.

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Paso 10.3.1

Multiplica $2$ por $512$ .

$- \frac{1024}{512}$

Paso 10.3.2

Divide $1024$ por $512$ .

$- 1 \cdot 2$

Paso 10.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2$

Paso 11

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = | 8 - {(0)}^{2} |$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = | 8 - 0 |$

Paso 12.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = | 8 + 0 |$

Paso 12.2.2

Suma $8$ y $0$ .

$f (0) = | 8 |$

Paso 12.2.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $8$ es $8$ .

$f (0) = 8$

Paso 12.2.4

La respuesta final es $8$ .

$y = 8$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = - 2 \sqrt{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 (8 | 64 - 16 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{4} | - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} | 64 - 16 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{4} | + 128 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 32 {(- 2 \sqrt{2})}^{4} + 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{6})}{{| 8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2} |}^{3}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Aplica la regla del producto a $- 2 \sqrt{2}$ .

Paso 14.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

Paso 14.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 14.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

Paso 14.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Paso 14.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

Paso 14.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.1.3.4.1

Cancela el factor común.

Paso 14.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

Paso 14.1.3.5

Evalúa el exponente.

Paso 14.1.4

Multiplica $- (4 \cdot 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

Paso 14.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

Paso 14.2

Resta $8$ de $8$ .

Paso 14.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

Paso 14.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

Paso 14.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 15

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 15.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (- 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, \infty)$

Paso 15.2

Sustituye cualquier número, como $- 5$ , del intervalo $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ en la primera derivada $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 15.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = - \frac{2 (- 5) (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - {(- 5)}^{2} |}$

Paso 15.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - {(- 5)}^{2} |}$

Paso 15.2.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 15.2.2.2.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - 1 \cdot 25 |}$

Paso 15.2.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - 25 |}$

Paso 15.2.2.2.3

Resta $25$ de $8$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| - 17 |}$

Paso 15.2.2.2.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 17$ y $0$ es $17$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{17}$

Paso 15.2.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.3.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - 1 \cdot 25)}{17}$

Paso 15.2.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - 25)}{17}$

Paso 15.2.2.3.3

Resta $25$ de $8$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 \cdot - 17}{17}$

Paso 15.2.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.4.1

Multiplica $- 10$ por $- 17$ .

$f' (- 5) = - \frac{170}{17}$

Paso 15.2.2.4.2

Divide $170$ por $17$ .

$f' (- 5) = - 1 \cdot 10$

Paso 15.2.2.4.3

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$f' (- 5) = - 10$

Paso 15.2.2.5

La respuesta final es $- 10$ .

$- 10$

Paso 15.3

Sustituye cualquier número, como $- 1$ , del intervalo $(- 2 \sqrt{2}, 0)$ en la primera derivada $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 - {(- 1)}^{2})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Paso 15.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 + (- 1) {(- 1)}^{2})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Paso 15.3.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 + {(- 1)}^{1 + 2})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Paso 15.3.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Paso 15.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Paso 15.3.2.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.3.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.3.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 + (- 1) {(- 1)}^{2} |}$

Paso 15.3.2.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 + {(- 1)}^{1 + 2} |}$

Paso 15.3.2.3.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 + {(- 1)}^{3} |}$

Paso 15.3.2.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 - 1 |}$

Paso 15.3.2.3.3

Resta $1$ de $8$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 7 |}$

Paso 15.3.2.3.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $7$ es $7$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{7}$

Paso 15.3.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.4.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 - 1)}{7}$

Paso 15.3.2.4.2

Resta $1$ de $8$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{7}$

Paso 15.3.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.3.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{7}$

Paso 15.3.2.5.2

Divide $- 14$ por $7$ .

$f' (- 1) = 2$

Paso 15.3.2.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 1) = 2$

Paso 15.3.2.6

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 15.4

Sustituye cualquier número, como $1$ , del intervalo $(0, 2 \sqrt{2})$ en la primera derivada $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{2 (1) (8 - {(1)}^{2})}{| 8 - {(1)}^{2} |}$

Paso 15.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 8 - 1^{2} |}$

Paso 15.4.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 8 - 1 \cdot 1 |}$

Paso 15.4.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 8 - 1 |}$

Paso 15.4.2.2.3

Resta $1$ de $8$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 7 |}$

Paso 15.4.2.2.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $7$ es $7$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{7}$

Paso 15.4.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1 \cdot 1)}{7}$

Paso 15.4.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1)}{7}$

Paso 15.4.2.3.3

Resta $1$ de $8$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot 7}{7}$

Paso 15.4.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.4.2.4.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$f' (1) = - \frac{14}{7}$

Paso 15.4.2.4.2

Divide $14$ por $7$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Paso 15.4.2.4.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (1) = - 2$

Paso 15.4.2.5

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 15.5

Sustituye cualquier número, como $5$ , del intervalo $(2 \sqrt{2}, \infty)$ en la primera derivada $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = - \frac{2 (5) (8 - {(5)}^{2})}{| 8 - {(5)}^{2} |}$

Paso 15.5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.5.2.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| 8 - 5^{2} |}$

Paso 15.5.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.5.2.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| 8 - 1 \cdot 25 |}$

Paso 15.5.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| 8 - 25 |}$

Paso 15.5.2.2.3

Resta $25$ de $8$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| - 17 |}$

Paso 15.5.2.2.4

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 17$ y $0$ es $17$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{17}$

Paso 15.5.2.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.5.2.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 1 \cdot 25)}{17}$

Paso 15.5.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 25)}{17}$

Paso 15.5.2.3.3

Resta $25$ de $8$ .

$f' (5) = - \frac{10 \cdot - 17}{17}$

Paso 15.5.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.5.2.4.1

Multiplica $10$ por $- 17$ .

$f' (5) = - \frac{- 170}{17}$

Paso 15.5.2.4.2

Divide $- 170$ por $17$ .

$f' (5) = 10$

Paso 15.5.2.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$f' (5) = 10$

Paso 15.5.2.5

La respuesta final es $10$ .

$10$

Paso 15.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = - 2 \sqrt{2}$ , $x = - 2 \sqrt{2}$ es un mínimo local.

$x = - 2 \sqrt{2}$ es un mínimo local

Paso 15.7

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 15.8

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 2 \sqrt{2}$ , $x = 2 \sqrt{2}$ es un mínimo local.

$x = 2 \sqrt{2}$ es un mínimo local

Paso 15.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = | 8 - x^{2} |$ .

$x = - 2 \sqrt{2}$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = 2 \sqrt{2}$ es un mínimo local

$x = - 2 \sqrt{2}$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = 2 \sqrt{2}$ es un mínimo local

Paso 16