Cálculo Ejemplos

$\frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 1

Escribe $\frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$ como una función.

$f (x) = \frac{(x - 2)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 2$ y $g (x) = x^{2} - 5 x + 6$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x + 6) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $x^{2} - 5 x + 6$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 6]}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.2.7

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.2.9

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.2.10

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.2.11

Suma $2 x - 5$ y $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - (x - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 + (- x - - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 + (- x + 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2

Expande $(- x + 2) (2 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - x (2 x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.1.4

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 4 x + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.1.6

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 5 x + 4 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.1.3.2

Suma $5 x$ y $4 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 6 - 2 x^{2} + 9 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 5 x + 6 + 9 x - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.3

Suma $- 5 x$ y $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x + 6 - 10}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.2.4

Resta $10$ de $6$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.2

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$\frac{- x^{2} + (2 + 2) x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x + 2) - 2 (- x + 2)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 5 x + 6)}^{2}}$

Paso 2.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.4.1

Factoriza $x^{2} - 5 x + 6$ con el método AC.

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Paso 2.3.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 2.3.4.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{((x - 3) (x - 2))}^{2}}$

Paso 2.3.4.2

Aplica la regla del producto a $(x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.5.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.5.4

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.5.5

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.5.6

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.5.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.5.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.6

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 2.3.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 3)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Paso 2.3.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ como ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x - 3$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} \cdot 0$

Paso 3.4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3} + 0$

Paso 3.4.7.2

Suma $2 {(x - 3)}^{- 3}$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 3)}^{- 3}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

Paso 3.5.2

Combina $2$ y $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 3)}^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 5

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 6

No hay extremos locales

Paso 7