Cálculo Ejemplos

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Paso 1

Escribe $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ como una función.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2 \cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{2}$ y $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = \frac{d}{d θ} (- 2 \cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 \frac{d}{d θ} (\cos (θ) \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ es $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ donde $f (θ) = \cos (θ)$ y $g (θ) = \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} (\sin (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.2.3

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} (\cos (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.2.4

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.2.5

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.2.6

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (θ) = - 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.2.9

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.2.10

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} (- 2 \sin (θ))$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 2 \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} \sin (θ)$

Paso 3.3.2

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$f'' (θ) = - 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Paso 3.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Paso 5

Factoriza $2 \sin (θ)$ de $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2 \sin (θ)$ de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Paso 5.2

Factoriza $2 \sin (θ)$ de $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Paso 5.3

Factoriza $2 \sin (θ)$ de $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Paso 7

Establece $\sin (θ)$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 7.1

Establece $\sin (θ)$ igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\sin (θ) = 0$ en $θ$ .

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Paso 7.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (0)$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$θ = 0$

Paso 7.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$θ = π - 0$

Paso 7.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$θ = π$

Paso 7.2.5

La solución a la ecuación $θ = 0$ .

$θ = 0, π$

Paso 8

Establece $- \cos (θ) - 1$ igual a $0$ y resuelve $θ$ .

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Paso 8.1

Establece $- \cos (θ) - 1$ igual a $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $- \cos (θ) - 1 = 0$ en $θ$ .

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Paso 8.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- \cos (θ) = 1$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $- \cos (θ) = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $- \cos (θ) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 8.2.2.2.2

Divide $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Paso 8.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Paso 8.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (- 1)$

Paso 8.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$θ = π$

Paso 8.2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π - π$

Paso 8.2.6

Resta $π$ de $2 π$ .

$θ = π$

Paso 8.2.7

La solución a la ecuación $θ = π$ .

$θ = π, π$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ verdadera.

$θ = 0, π$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $θ = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Paso 11.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Paso 11.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Paso 11.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Paso 11.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Paso 11.1.6

Multiplica $2$ por $0$ .

$- 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Paso 11.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Paso 11.1.8

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 + 0 - 2$

Paso 11.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 11.2.1

Suma $- 2$ y $0$ .

$- 2 - 2$

Paso 11.2.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$- 4$

Paso 12

$θ = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$θ = 0$ es un máximo local

Paso 13

Obtén el valor de y cuando $θ = 0$ .

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Paso 13.1

Reemplaza la variable $θ$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Paso 13.2

Simplifica el resultado.

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Paso 13.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.2.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Paso 13.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (0) = 2 + \cos^{2} (0)$

Paso 13.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f (0) = 2 + 1^{2}$

Paso 13.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (0) = 2 + 1$

Paso 13.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f (0) = 3$

Paso 13.2.3

La respuesta final es $3$ .

$y = 3$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada en $θ = π$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- 2 {(- \cos (0))}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Paso 15.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Paso 15.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 {(- 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Paso 15.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Paso 15.1.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Paso 15.1.6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (π)$

Paso 15.1.7

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (π)$

Paso 15.1.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (π)$

Paso 15.1.9

Multiplica $2$ por $0$ .

$- 2 + 0 - 2 \cos (π)$

Paso 15.1.10

$- 2 + 0 - 2 (- \cos (0))$

Paso 15.1.11

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 + 0 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Paso 15.1.12

Multiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 15.1.12.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 + 0 - 2 \cdot - 1$

Paso 15.1.12.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 + 0 + 2$

Paso 15.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 15.2.1

Suma $- 2$ y $0$ .

$- 2 + 2$

Paso 15.2.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$0$

Paso 16

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 16.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $θ$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Paso 16.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 16.2.1

Reemplaza la variable $θ$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - 2 \cos (- 2) \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

Paso 16.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.2.1.1

Evalúa $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Paso 16.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

Paso 16.2.2.1.3

Evalúa $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \cdot - 0.90929742 - 2 \sin (- 2)$

Paso 16.2.2.1.4

Multiplica $0.83229367$ por $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Paso 16.2.2.1.5

Evalúa $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Paso 16.2.2.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 + 1.81859485$

Paso 16.2.2.2

Suma $- 0.75680249$ y $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 1.06179235$

Paso 16.2.2.3

La respuesta final es $1.06179235$ .

$1.06179235$

Paso 16.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, π)$ en la primera derivada $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 16.3.1

Reemplaza la variable $θ$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - 2 \cos (2) \sin (2) - 2 \sin (2)$

Paso 16.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.3.2.1.1

Evalúa $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 2 \sin (2)$

Paso 16.3.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 0.41614683$ .

$f' (2) = 0.83229367 \sin (2) - 2 \sin (2)$

Paso 16.3.2.1.3

Evalúa $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.83229367 \cdot 0.90929742 - 2 \sin (2)$

Paso 16.3.2.1.4

Multiplica $0.83229367$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Paso 16.3.2.1.5

Evalúa $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Paso 16.3.2.1.6

Multiplica $- 2$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 1.81859485$

Paso 16.3.2.2

Resta $1.81859485$ de $0.75680249$ .

$f' (2) = - 1.06179235$

Paso 16.3.2.3

La respuesta final es $- 1.06179235$ .

$- 1.06179235$

Paso 16.4

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(π, \infty)$ en la primera derivada $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 16.4.1

Reemplaza la variable $θ$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = - 2 \cos (6) \sin (6) - 2 \sin (6)$

Paso 16.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.4.2.1.1

Evalúa $\cos (6)$ .

$f' (6) = - 2 \cdot (0.96017028 \sin (6)) - 2 \sin (6)$

Paso 16.4.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0.96017028$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \sin (6) - 2 \sin (6)$

Paso 16.4.2.1.3

Evalúa $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \cdot - 0.27941549 - 2 \sin (6)$

Paso 16.4.2.1.4

Multiplica $- 1.92034057$ por $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \sin (6)$

Paso 16.4.2.1.5

Evalúa $\sin (6)$ .

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \cdot - 0.27941549$

Paso 16.4.2.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291 + 0.55883099$

Paso 16.4.2.2

Suma $0.53657291$ y $0.55883099$ .

$f' (6) = 1.09540391$

Paso 16.4.2.3

La respuesta final es $1.09540391$ .

$1.09540391$

Paso 16.5

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $θ = 0$ , $θ = 0$ es un máximo local.

$θ = 0$ es un máximo local

Paso 16.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $θ = π$ , $θ = π$ es un mínimo local.

$θ = π$ es un mínimo local

Paso 16.7

Estos son los extremos locales de $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ .

$θ = 0$ es un máximo local

$θ = π$ es un mínimo local

$θ = 0$ es un máximo local

$θ = π$ es un mínimo local

Paso 17