Cálculo Ejemplos

$\frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 1}{t^{2} - 1})$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2} + 1$ y $g (t) = t^{2} - 1$ .

$\frac{(t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $2 t$ y $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1]}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t + 0)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Suma $2 t$ y $0$ .

$\frac{(t^{2} - 1) (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) - (t^{2} + 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{t^{2} (2 t) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 t^{2} t - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1.2.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 3.4.1.2.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 t^{1 + 2} - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 t^{3} - 1 (2 t) - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - t^{2} (2 t) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{2} t - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.5

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1.5.1

Mueve $t$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.5.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 3.4.1.5.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{1 + 2} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 1 \cdot 2 t^{3} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 1 \cdot 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 1 (2 t)}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Combina los términos opuestos en $2 t^{3} - 2 t - 2 t^{3} - 2 t$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta $2 t^{3}$ de $2 t^{3}$ .

$\frac{- 2 t + 0 - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2.2

Suma $- 2 t$ y $0$ .

$\frac{- 2 t - 2 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.3

Resta $2 t$ de $- 2 t$ .

$\frac{- 4 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 t}{{(t^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica el denominador.

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Paso 3.6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{4 t}{{(t^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Paso 3.6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = t$ y $b = 1$ .

$- \frac{4 t}{{((t + 1) (t - 1))}^{2}}$

Paso 3.6.3

Aplica la regla del producto a $(t + 1) (t - 1)$ .

$- \frac{4 t}{{(t + 1)}^{2} {(t - 1)}^{2}}$