Cálculo Ejemplos

$v = \frac{2 t}{{(t + 1)}^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ es $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ donde $f (v) = 2 t$ y $g (v) = {(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \frac{d}{d v} [2 t] - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [{(t + 1)}^{2}]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1

Como $2 t$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $v$ es $0$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [{(t + 1)}^{2}]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe ${(t + 1)}^{2}$ como $(t + 1) (t + 1)$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [(t + 1) (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 3

Expande $(t + 1) (t + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t (t + 1) + 1 (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.3

Multiplica $t$ por $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + t + 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 4.2

Suma $t$ y $t$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + 2 t + 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 5

Como $t^{2} + 2 t + 1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $t^{2} + 2 t + 1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.1

Reescribe ${(t + 1)}^{2}$ como $(t + 1) (t + 1)$ .

$\frac{(t + 1) (t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.1.2

Expande $(t + 1) (t + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(t (t + 1) + 1 (t + 1)) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1)) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.3.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{(t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.1.3.1.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.1.3.1.3

Multiplica $t$ por $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.1.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.1.3.2

Suma $t$ y $t$ .

$\frac{(t^{2} + 2 t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.1.4

Multiplica $t^{2} + 2 t + 1$ por $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 - 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.1.6

Multiplica $- 2 t \cdot 0$ .

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Paso 6.1.1.6.1

Multiplica $0$ por $- 2$ .

$\frac{0 + 0 t}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.1.6.2

Multiplica $0$ por $t$ .

$\frac{0 + 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${({(t + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{{(t + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 6.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0}{{(t + 1)}^{4}}$

Paso 6.3

Divide $0$ por ${(t + 1)}^{4}$ .

$0$