Cálculo Ejemplos

$y = \frac{{(x - 6)}^{9}}{{(x - 5)}^{6}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = {(x - 6)}^{9}$ y $g (x) = {(x - 5)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{9}] - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{9}$ y $g (x) = x - 6$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 3.3

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (1 + 0)) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} \cdot 1) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $9$ por $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{6}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {u_{2}}^{5} \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 5.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 5.4.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Factoriza ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ de ${(x - 5)}^{6} \cdot 9 {(x - 6)}^{8} - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})$ .

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Paso 6.1.1.1

Factoriza ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ de ${(x - 5)}^{6} \cdot 9 {(x - 6)}^{8}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.1.2

Factoriza ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ de $- {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) + {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (- (x - 6) \cdot 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.1.3

Factoriza ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ de ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) + {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (- (x - 6) \cdot 6)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9 - (x - 6) \cdot 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x \cdot 9 - 5 \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.3.2

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 \cdot x - 5 \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $- 5$ por $9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 \cdot x - 45 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 x - 45 - 6 x - 6 \cdot - 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.3.5

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 x - 45 - 6 x + 36)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.4

Resta $6 x$ de $9 x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x - 45 + 36)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.5

Suma $- 45$ y $36$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x - 9)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.6

Factoriza $3$ de $3 x - 9$ .

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Paso 6.1.6.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 (x) - 9)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.6.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x + 3 \cdot - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.1.6.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 (x - 3))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} \cdot 3 (x - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ .

$\frac{3 \cdot ({(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}) (x - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Paso 6.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 5)}^{6})}^{2}$ .

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Paso 6.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{6 \cdot 2}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{12}}$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de ${(x - 5)}^{5}$ y ${(x - 5)}^{12}$ .

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Paso 6.2.3.1

Factoriza ${(x - 5)}^{5}$ de $3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{12}}$

Paso 6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza ${(x - 5)}^{5}$ de ${(x - 5)}^{12}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{5} {(x - 5)}^{7}}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{5} {(x - 5)}^{7}}$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{7}}$