Cálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{1 + x}$ , $a = 0$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de $a = 0$ en la función de linealización.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Paso 3

Evalúa $f (0)$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \sqrt[3]{1 + 0}$

Paso 3.2

Simplifica $\sqrt[3]{1 + 0}$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$\sqrt[3]{1 + 0}$

Paso 3.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\sqrt[3]{1}$

Paso 3.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$1$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en $0$ .

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Paso 4.1

Obtén la derivada de $f (x) = \sqrt[3]{1 + x}$ .

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{3}}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 1 + x$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.7

Combina fracciones.

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Paso 4.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(1 + x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.7.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(1 + x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.7.3

Mueve ${(1 + x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Paso 4.1.12

Multiplica $\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(1 + x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.2

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$\frac{1}{3 {(1 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{1}{3 {(1 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.2.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.3.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3 \cdot 1}$

Paso 4.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en $a$ .

$L (x) = 1 + \frac{1}{3} (x - 0)$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Resta $0$ de $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{1}{3} x$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{x}{3}$

Paso 7