Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (\frac{π}{6} x)$ , $x = 1$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de $a = 1$ en la función de linealización.

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

Paso 3

Evalúa $f (1)$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$

Paso 3.2

Simplifica $\cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$\cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$

Paso 3.2.2

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $1$ .

$\cos (\frac{π}{6})$

Paso 3.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en $1$ .

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Paso 4.1

Obtén la derivada de $f (x) = \cos (\frac{π}{6} x)$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{π}{6} x$ .

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Paso 4.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{π}{6} x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Paso 4.1.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Paso 4.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{π}{6} x$ .

$- \sin (\frac{π}{6} x) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Paso 4.1.2

Diferencia.

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Paso 4.1.2.1

Combina $\frac{π}{6}$ y $x$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Paso 4.1.2.2

Combina $\frac{π}{6}$ y $x$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}]$

Paso 4.1.2.3

Como $\frac{π}{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π x}{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.2.4

Combina $\frac{π}{6}$ y $\sin (\frac{π x}{6})$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6}$

Paso 4.2

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{π \sin (\frac{π (1)}{6})}{6}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π}{6})}{6}$

Paso 4.3.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \frac{1}{2}}{6}$

Paso 4.3.3

Combina $π$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{π}{2}}{6}$

Paso 4.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6})$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 6}$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$- \frac{π}{12}$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en $a$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{12} (x - 1)$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{12} x - \frac{π}{12} \cdot - 1$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{π}{12}$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} - \frac{π}{12} \cdot - 1$

Paso 6.3

Multiplica $- \frac{π}{12} \cdot - 1$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} + 1 (\frac{π}{12})$

Paso 6.3.2

Multiplica $\frac{π}{12}$ por $1$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} + \frac{π}{12}$

Paso 7