Cálculo Ejemplos

$8 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{3}$

Paso 1

Escribe $8 \sin (x) \cos (x)$ como una ecuación.

$y = 8 \sin (x) \cos (x)$

Paso 2

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = \frac{π}{3}$ .

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Paso 2.1

Sustituye $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$y = 8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.2.2

Simplifica $8 \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{3})$ .

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Paso 2.2.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = 8 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y = 2 (4) \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = 2 \cdot 4 \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 4 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.2.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$y = 4 \sqrt{3} \frac{1}{2}$

Paso 2.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.4.1

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{3}$ .

$y = 2 (2 \sqrt{3}) \frac{1}{2}$

Paso 2.2.2.4.2

Cancela el factor común.

$y = 2 (2 \sqrt{3}) \frac{1}{2}$

Paso 2.2.2.4.3

Reescribe la expresión.

$y = 2 \sqrt{3}$

Paso 3

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{3}$ y $y = 2 \sqrt{3}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \sin (x) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$8 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$8 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.7

Suma $1$ y $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 3.8

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Paso 3.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Paso 3.10

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Paso 3.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Paso 3.12

Suma $1$ y $1$ .

$8 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Paso 3.13

Simplifica.

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Paso 3.13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (- \sin^{2} (x)) + 8 \cos^{2} (x)$

Paso 3.13.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8 \sin^{2} (x) + 8 \cos^{2} (x)$

Paso 3.14

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{3}$ .

$- 8 \sin^{2} (\frac{π}{3}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15

Simplifica.

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Paso 3.15.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.15.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.15.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.15.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$- 8 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- 8 \frac{3^{1}}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.3.5

Evalúa el exponente.

$- 8 \frac{3}{2^{2}} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 8 (\frac{3}{4}) + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.15.1.5.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$4 (- 2) \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.5.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 2 \frac{3}{4} + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.5.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \cdot 3 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.6

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- 6 + 8 \cos^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 3.15.1.7

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 3.15.1.8

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$- 6 + 8 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Paso 3.15.1.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 6 + 8 \frac{1}{2^{2}}$

Paso 3.15.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 6 + 8 (\frac{1}{4})$

Paso 3.15.1.11

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.15.1.11.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- 6 + 4 (2) \frac{1}{4}$

Paso 3.15.1.11.2

Cancela el factor común.

$- 6 + 4 \cdot 2 \frac{1}{4}$

Paso 3.15.1.11.3

Reescribe la expresión.

$- 6 + 2$

Paso 3.15.2

Suma $- 6$ y $2$ .

$- 4$

Paso 4

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 4.1

Usa la pendiente $- 4$ y un punto dado $(\frac{π}{3}, 2 \sqrt{3})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2 \sqrt{3}) = - 4 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Paso 4.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 4.3

Resuelve $y$

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Paso 4.3.1

Simplifica $- 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe.

$y - 2 \sqrt{3} = 0 + 0 - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 4.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 4.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x - 4 (- \frac{π}{3})$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $- 4 (- \frac{π}{3})$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x + 4 \frac{π}{3}$

Paso 4.3.1.4.2

Combina $4$ y $\frac{π}{3}$ .

$y - 2 \sqrt{3} = - 4 x + \frac{4 π}{3}$

Paso 4.3.2

Suma $2 \sqrt{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

Paso 4.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 4.3.3.1

Para escribir $2 \sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.3.3.2

Combina $2 \sqrt{3}$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = - 4 x + \frac{4 π}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Paso 4.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - 4 x + \frac{4 π + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Paso 4.3.3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = - 4 x + \frac{4 π + 6 \sqrt{3}}{3}$

Paso 5