Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3} + 9 x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} + 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} + 9 x^{2}$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Paso 3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 9 (2 x))$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $9$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 18 x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}} (3 x^{2} + 18 x)$

Paso 4.2

Reordena los factores de $- \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}} (3 x^{2} + 18 x)$ .

$- (3 x^{2} + 18 x) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (3 x^{2}) - (18 x)) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Paso 4.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(- 3 x^{2} - (18 x)) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Paso 4.5

Multiplica $18$ por $- 1$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Paso 4.6

Simplifica el denominador.

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Paso 4.6.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} + 9 x^{2}$ .

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Paso 4.6.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} x + 9 x^{2})}^{2}}$

Paso 4.6.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 9)}^{2}}$

Paso 4.6.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 9$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} (x + 9))}^{2}}$

Paso 4.6.2

Aplica la regla del producto a $x^{2} (x + 9)$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2})}^{2} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.6.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.6.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{x^{2 \cdot 2} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.6.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.7

Multiplica $- 3 x^{2} - 18 x$ por $\frac{1}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 18 x}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.8

Factoriza $3 x$ de $- 3 x^{2} - 18 x$ .

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Paso 4.8.1

Factoriza $3 x$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 x (- x) - 18 x}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.8.2

Factoriza $3 x$ de $- 18 x$ .

$\frac{3 x (- x) + 3 x (- 6)}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.8.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (- x) + 3 x (- 6)$ .

$\frac{3 x (- x - 6)}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.9

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 4.9.1

Factoriza $x$ de $3 x (- x - 6)$ .

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.9.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4} {(x + 9)}^{2}$ .

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x (x^{3} {(x + 9)}^{2})}$

Paso 4.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x (x^{3} {(x + 9)}^{2})}$

Paso 4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (- x - 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.10

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.11

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.12

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (6)$ .

$\frac{3 (- (x + 6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.13

Reescribe $- (x + 6)$ como $- 1 (x + 6)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Paso 4.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 (x + 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$