Cálculo Ejemplos

$\ln^{4} (1 + e^{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \ln (1 + e^{x})$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (1 + e^{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\ln (1 + e^{x})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + e^{x})]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (1 + e^{x})$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [\ln (1 + e^{x})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + e^{x}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 + e^{x}$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + e^{x}$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) (\frac{1}{1 + e^{x}} e^{x})$

Paso 5

Combina $\frac{1}{1 + e^{x}}$ y $e^{x}$ .

$4 \ln^{3} (1 + e^{x}) \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Paso 6

Combina los términos.

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Paso 6.1

Combina $\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ y $4$ .

$\frac{e^{x} \cdot 4}{1 + e^{x}} \ln^{3} (1 + e^{x})$

Paso 6.2

Combina $\frac{e^{x} \cdot 4}{1 + e^{x}}$ y $\ln^{3} (1 + e^{x})$ .

$\frac{e^{x} \cdot 4 \ln^{3} (1 + e^{x})}{1 + e^{x}}$

Paso 6.3

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$\frac{4 e^{x} \ln^{3} (1 + e^{x})}{1 + e^{x}}$