Cálculo Ejemplos

$2 x^{2} - 16 \ln (x)$

Paso 1

Escribe $2 x^{2} - 16 \ln (x)$ como una función.

$f (x) = 2 x^{2} - 16 \ln (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - 16 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 x - 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 x - 16 \frac{1}{x}$

Paso 2.1.3.3

Combina $- 16$ y $\frac{1}{x}$ .

$4 x + \frac{- 16}{x}$

Paso 2.1.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 4 x - \frac{16}{x}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x - \frac{16}{x}$ .

$4 x - \frac{16}{x}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x - \frac{16}{x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x - \frac{16}{x} = 0$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1$

Paso 3.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $4 x - \frac{16}{x} = 0$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $4 x - \frac{16}{x} = 0$ por $x$ .

$4 x \cdot x - \frac{16}{x} x = 0 x$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$4 (x \cdot x) - \frac{16}{x} x = 0 x$

Paso 3.3.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} - \frac{16}{x} x = 0 x$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{16}{x}$ al numerador.

$4 x^{2} + \frac{- 16}{x} x = 0 x$

Paso 3.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$4 x^{2} + \frac{- 16}{x} x = 0 x$

Paso 3.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{2} - 16 = 0 x$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 0$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} = 16$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $4 x^{2} = 16$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $4 x^{2} = 16$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{4}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Divide $16$ por $4$ .

$x^{2} = 4$

Paso 3.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 3.4.4

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 3.4.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 3.4.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 3.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 3.4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 3.4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $2, - 2$ .

$2, - 2$

Paso 5

Establece el denominador en $\frac{16}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 7

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 4 (- 1) - \frac{16}{- 1}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - \frac{16}{- 1}$

Paso 8.2.1.2

Divide $16$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 16$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Paso 8.2.2

Suma $- 4$ y $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $12$ .

$12$

Paso 9

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, 2)$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(0, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 4 (1) - \frac{16}{1}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - \frac{16}{1}$

Paso 10.2.1.2

Divide $16$ por $1$ .

$f' (1) = 4 - 1 \cdot 16$

Paso 10.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Paso 10.2.2

Resta $16$ de $4$ .

$f' (1) = - 12$

Paso 10.2.3

La respuesta final es $- 12$ .

$- 12$

Paso 10.3

En $x = 1$ la derivada es $- 12$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 2)$ .

Decrecimiento en $(0, 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 11

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, 2), (2, \infty)$

Paso 12

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 4 (3) - \frac{16}{3}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (3) = 12 - \frac{16}{3}$

Paso 12.2.2

Para escribir $12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = 12 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Paso 12.2.3

Combina $12$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = \frac{12 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (3) = \frac{12 \cdot 3 - 16}{3}$

Paso 12.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.5.1

Multiplica $12$ por $3$ .

$f' (3) = \frac{36 - 16}{3}$

Paso 12.2.5.2

Resta $16$ de $36$ .

$f' (3) = \frac{20}{3}$

Paso 12.2.6

La respuesta final es $\frac{20}{3}$ .

$\frac{20}{3}$

Paso 12.3

En $x = 3$ la derivada es $\frac{20}{3}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 13

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(2, \infty)$

Decrecimiento en: $(0, 2)$

Paso 14