Cálculo Ejemplos

$(x - 9) e^{- 8 x}$

Paso 1

Escribe $(x - 9) e^{- 8 x}$ como una función.

$f (x) = (x - 9) e^{- 8 x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 9$ y $g (x) = e^{- 8 x}$ .

$(x - 9) \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}] + e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 8 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 8 x$ .

$(x - 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 8 x]) + e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(x - 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 8 x$ .

$(x - 9) (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 9) e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 9) e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1) + e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.3.1

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$(x - 9) e^{- 8 x} \cdot - 8 + e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.3.3.2

Mueve $- 8$ a la izquierda de $(x - 9) e^{- 8 x}$ .

$- 8 \cdot ((x - 9) e^{- 8 x}) + e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- 8 (x - 9) e^{- 8 x} + e^{- 8 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Paso 2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 8 (x - 9) e^{- 8 x} + e^{- 8 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Paso 2.1.3.6

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 8 (x - 9) e^{- 8 x} + e^{- 8 x} (1 + 0)$

Paso 2.1.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.7.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 8 (x - 9) e^{- 8 x} + e^{- 8 x} \cdot 1$

Paso 2.1.3.7.2

Multiplica $e^{- 8 x}$ por $1$ .

$- 8 (x - 9) e^{- 8 x} + e^{- 8 x}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 8 x - 8 \cdot - 9) e^{- 8 x} + e^{- 8 x}$

Paso 2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 8 x e^{- 8 x} - 8 \cdot - 9 e^{- 8 x} + e^{- 8 x}$

Paso 2.1.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.1.4.3.1

Multiplica $- 8$ por $- 9$ .

$- 8 x e^{- 8 x} + 72 e^{- 8 x} + e^{- 8 x}$

Paso 2.1.4.3.2

Suma $72 e^{- 8 x}$ y $e^{- 8 x}$ .

$- 8 x e^{- 8 x} + 73 e^{- 8 x}$

Paso 2.1.4.4

Reordena los términos.

$- 8 e^{- 8 x} x + 73 e^{- 8 x}$

Paso 2.1.4.5

Reordena los factores en $- 8 e^{- 8 x} x + 73 e^{- 8 x}$ .

$f' (x) = - 8 x e^{- 8 x} + 73 e^{- 8 x}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 8 x e^{- 8 x} + 73 e^{- 8 x}$ .

$- 8 x e^{- 8 x} + 73 e^{- 8 x}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 8 x e^{- 8 x} + 73 e^{- 8 x} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 8 x e^{- 8 x} + 73 e^{- 8 x} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $e^{- 8 x}$ de $- 8 x e^{- 8 x} + 73 e^{- 8 x}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $e^{- 8 x}$ de $- 8 x e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} (- 8 x) + 73 e^{- 8 x} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $e^{- 8 x}$ de $73 e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} (- 8 x) + e^{- 8 x} \cdot 73 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $e^{- 8 x}$ de $e^{- 8 x} (- 8 x) + e^{- 8 x} \cdot 73$ .

$e^{- 8 x} (- 8 x + 73) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- 8 x} = 0$

$- 8 x + 73 = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{- 8 x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{- 8 x}$ igual a $0$ .

$e^{- 8 x} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{- 8 x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 8 x}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- 8 x} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

Establece $- 8 x + 73$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $- 8 x + 73$ igual a $0$ .

$- 8 x + 73 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $- 8 x + 73 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $73$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 x = - 73$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $- 8 x = - 73$ por $- 8$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $- 8 x = - 73$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 73}{- 8}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 73}{- 8}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 73}{- 8}$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{73}{8}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- 8 x} (- 8 x + 73) = 0$ verdadera.

$x = \frac{73}{8}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{73}{8}$ .

$\frac{73}{8}$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - 8 x e^{- 8 x} + 73 e^{- 8 x}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = (x - 9) e^{- 8 x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, \frac{73}{8}) \cup (\frac{73}{8}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{73}{8}) \cup (\frac{73}{8}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{73}{8})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{65}{8}$ en la expresión.

$f' (\frac{65}{8}) = - 8 (\frac{65}{8}) \cdot e^{- 8 (\frac{65}{8})} + 73 e^{- 8 (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$f' (\frac{65}{8}) = 8 (- 1) (\frac{65}{8}) \cdot e^{- 8 (\frac{65}{8})} + 73 e^{- 8 (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{65}{8}) = 8 \cdot (- 1 (\frac{65}{8})) \cdot e^{- 8 (\frac{65}{8})} + 73 e^{- 8 (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{65}{8}) = - 1 \cdot 65 \cdot e^{- 8 (\frac{65}{8})} + 73 e^{- 8 (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $65$ .

$f' (\frac{65}{8}) = - 65 \cdot e^{- 8 (\frac{65}{8})} + 73 e^{- 8 (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2.1.3

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$f' (\frac{65}{8}) = - 65 \cdot e^{8 (- 1) (\frac{65}{8})} + 73 e^{- 8 (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{65}{8}) = - 65 \cdot e^{8 \cdot (- 1 (\frac{65}{8}))} + 73 e^{- 8 (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{65}{8}) = - 65 \cdot e^{- 1 \cdot 65} + 73 e^{- 8 (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $65$ .

$f' (\frac{65}{8}) = - 65 \cdot e^{- 65} + 73 e^{- 8 (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{65}{8}) = - 65 \cdot \frac{1}{e^{65}} + 73 e^{- 8 (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2.1.6

Combina $- 65$ y $\frac{1}{e^{65}}$ .

$f' (\frac{65}{8}) = \frac{- 65}{e^{65}} + 73 e^{- 8 (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{65}{8}) = - \frac{65}{e^{65}} + 73 e^{- 8 (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2.1.8

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 6.2.1.8.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$f' (\frac{65}{8}) = - \frac{65}{e^{65}} + 73 e^{8 (- 1) (\frac{65}{8})}$

Paso 6.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{65}{8}) = - \frac{65}{e^{65}} + 73 e^{8 \cdot (- 1 (\frac{65}{8}))}$

Paso 6.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{65}{8}) = - \frac{65}{e^{65}} + 73 e^{- 1 \cdot 65}$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $65$ .

$f' (\frac{65}{8}) = - \frac{65}{e^{65}} + 73 e^{- 65}$

Paso 6.2.1.10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{65}{8}) = - \frac{65}{e^{65}} + 73 (\frac{1}{e^{65}})$

Paso 6.2.1.11

Combina $73$ y $\frac{1}{e^{65}}$ .

$f' (\frac{65}{8}) = - \frac{65}{e^{65}} + \frac{73}{e^{65}}$

Paso 6.2.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{65}{8}) = \frac{- 65 + 73}{e^{65}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 65$ y $73$ .

$f' (\frac{65}{8}) = \frac{8}{e^{65}}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{8}{e^{65}}$ .

$\frac{8}{e^{65}}$

Paso 6.3

En $x = \frac{65}{8}$ la derivada es $\frac{8}{e^{65}}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, \frac{73}{8})$ .

Incremento en $(- \infty, \frac{73}{8})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{73}{8}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{81}{8}$ en la expresión.

$f' (\frac{81}{8}) = - 8 (\frac{81}{8}) \cdot e^{- 8 (\frac{81}{8})} + 73 e^{- 8 (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$f' (\frac{81}{8}) = 8 (- 1) (\frac{81}{8}) \cdot e^{- 8 (\frac{81}{8})} + 73 e^{- 8 (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{81}{8}) = 8 \cdot (- 1 (\frac{81}{8})) \cdot e^{- 8 (\frac{81}{8})} + 73 e^{- 8 (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{81}{8}) = - 1 \cdot 81 \cdot e^{- 8 (\frac{81}{8})} + 73 e^{- 8 (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$f' (\frac{81}{8}) = - 81 \cdot e^{- 8 (\frac{81}{8})} + 73 e^{- 8 (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2.1.3

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 7.2.1.3.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$f' (\frac{81}{8}) = - 81 \cdot e^{8 (- 1) (\frac{81}{8})} + 73 e^{- 8 (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{81}{8}) = - 81 \cdot e^{8 \cdot (- 1 (\frac{81}{8}))} + 73 e^{- 8 (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{81}{8}) = - 81 \cdot e^{- 1 \cdot 81} + 73 e^{- 8 (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$f' (\frac{81}{8}) = - 81 \cdot e^{- 81} + 73 e^{- 8 (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{81}{8}) = - 81 \cdot \frac{1}{e^{81}} + 73 e^{- 8 (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2.1.6

Combina $- 81$ y $\frac{1}{e^{81}}$ .

$f' (\frac{81}{8}) = \frac{- 81}{e^{81}} + 73 e^{- 8 (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{81}{8}) = - \frac{81}{e^{81}} + 73 e^{- 8 (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2.1.8

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 7.2.1.8.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$f' (\frac{81}{8}) = - \frac{81}{e^{81}} + 73 e^{8 (- 1) (\frac{81}{8})}$

Paso 7.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{81}{8}) = - \frac{81}{e^{81}} + 73 e^{8 \cdot (- 1 (\frac{81}{8}))}$

Paso 7.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{81}{8}) = - \frac{81}{e^{81}} + 73 e^{- 1 \cdot 81}$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$f' (\frac{81}{8}) = - \frac{81}{e^{81}} + 73 e^{- 81}$

Paso 7.2.1.10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{81}{8}) = - \frac{81}{e^{81}} + 73 (\frac{1}{e^{81}})$

Paso 7.2.1.11

Combina $73$ y $\frac{1}{e^{81}}$ .

$f' (\frac{81}{8}) = - \frac{81}{e^{81}} + \frac{73}{e^{81}}$

Paso 7.2.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{81}{8}) = \frac{- 81 + 73}{e^{81}}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.2.1

Suma $- 81$ y $73$ .

$f' (\frac{81}{8}) = \frac{- 8}{e^{81}}$

Paso 7.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{81}{8}) = - \frac{8}{e^{81}}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- \frac{8}{e^{81}}$ .

$- \frac{8}{e^{81}}$

Paso 7.3

En $x = \frac{81}{8}$ la derivada es $- \frac{8}{e^{81}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\frac{73}{8}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{73}{8}, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, \frac{73}{8})$

Decrecimiento en: $(\frac{73}{8}, \infty)$

Paso 9