Cálculo Ejemplos

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Paso 1

Escribe $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ como una función.

$f (t) = \frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = 3 t^{2} + 27$ .

$4 \frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $3 t^{2} + 27$ por $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t^{2} + 27$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t^{2}$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.3.6

Multiplica $2$ por $3$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.3.7

Como $27$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $27$ con respecto a $t$ es $0$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.8.1

Suma $6 t$ y $0$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.3.8.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.4

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.5

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.8

Resta $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$4 \frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.9

Combina $4$ y $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.10

Simplifica.

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Paso 2.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.10.2.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.10.2.2

Multiplica $4$ por $27$ .

$\frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.10.3.1

Factoriza $12$ de $- 12 t^{2} + 108$ .

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Paso 2.1.10.3.1.1

Factoriza $12$ de $- 12 t^{2}$ .

$\frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.10.3.1.2

Factoriza $12$ de $108$ .

$\frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.10.3.1.3

Factoriza $12$ de $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ .

$\frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.10.3.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.10.3.3

Reordena $- t^{2}$ y $3^{2}$ .

$\frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.10.3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3$ y $b = t$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.10.4

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.10.4.1

Factoriza $3$ de $3 t^{2} + 27$ .

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Paso 2.1.10.4.1.1

Factoriza $3$ de $3 t^{2}$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

Paso 2.1.10.4.1.2

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Paso 2.1.10.4.1.3

Factoriza $3$ de $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

Paso 2.1.10.4.2

Aplica la regla del producto a $3 (t^{2} + 9)$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.10.4.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.10.5

Cancela el factor común de $12$ y $9$ .

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Paso 2.1.10.5.1

Factoriza $3$ de $12 (3 + t) (3 - t)$ .

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.1.10.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.10.5.2.1

Factoriza $3$ de $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Paso 2.1.10.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Paso 2.1.10.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

Paso 3.3.2

Establece $3 + t$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 3.3.2.1

Establece $3 + t$ igual a $0$ .

$3 + t = 0$

Paso 3.3.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$t = - 3$

Paso 3.3.3

Establece $3 - t$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $3 - t$ igual a $0$ .

$3 - t = 0$

Paso 3.3.3.2

Resuelve $3 - t = 0$ en $t$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- t = - 3$

Paso 3.3.3.2.2

Divide cada término en $- t = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.2.2.1

Divide cada término en $- t = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.2.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.3.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.2.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$t = 3$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ verdadera.

$t = - 3, 3$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 3, 3$ .

$- 3, 3$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $t$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $t$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 - (- 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 - (- 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 + 4)}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $4$ de $3$ .

$f' (- 4) = \frac{4 \cdot (- 1 (3 + 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Combina exponentes.

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Paso 6.2.2.3.1

Factoriza el negativo.

$f' (- 4) = \frac{- (4 (3 + 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 (3 + 4)}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Suma $3$ y $4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 6.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.3.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 {(16 + 9)}^{2}}$

Paso 6.2.3.2

Suma $16$ y $9$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 \cdot 25^{2}}$

Paso 6.2.3.3

Eleva $25$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 \cdot 625}$

Paso 6.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $- 4$ por $7$ .

$f' (- 4) = \frac{- 28}{3 \cdot 625}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $3$ por $625$ .

$f' (- 4) = \frac{- 28}{1875}$

Paso 6.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 4) = - \frac{28}{1875}$

Paso 6.2.5

La respuesta final es $- \frac{28}{1875}$ .

$- \frac{28}{1875}$

Paso 6.3

En $t = - 4$ la derivada es $- \frac{28}{1875}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 3)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 3)$ desde $f' (t) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $t$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0) (3 - (0))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0) (3 - (0))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Cancela el factor común de $3 + 0$ y $3$ .

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Paso 7.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $4 (3 + 0) (3 - (0))$ .

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}$ .

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 ({({(0)}^{2} + 9)}^{2})}$

Paso 7.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (0) = \frac{4 (1 + 0) (3 - (0))}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{4 (1 + 0) (3 + 0)}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot (1 (3 + 0))}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0)}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Suma $3$ y $0$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{{(0 + 9)}^{2}}$

Paso 7.2.3.2

Suma $0$ y $9$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9^{2}}$

Paso 7.2.3.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{81}$

Paso 7.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.4.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (0) = \frac{12}{81}$

Paso 7.2.4.2

Cancela el factor común de $12$ y $81$ .

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Paso 7.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$f' (0) = \frac{3 (4)}{81}$

Paso 7.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.4.2.2.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Paso 7.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Paso 7.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (0) = \frac{4}{27}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $\frac{4}{27}$ .

$\frac{4}{27}$

Paso 7.3

En $t = 0$ la derivada es $\frac{4}{27}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 3, 3)$ .

Incremento en $(- 3, 3)$ ya que $f' (t) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $t$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - (4))}{3 {({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Elimina los paréntesis.

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - (4))}{3 {({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - 4)}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $3$ y $4$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot (7 (3 - 4))}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Multiplica $4$ por $7$ .

$f' (4) = \frac{28 (3 - 4)}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Resta $4$ de $3$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 {(16 + 9)}^{2}}$

Paso 8.2.3.2

Suma $16$ y $9$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 \cdot 25^{2}}$

Paso 8.2.3.3

Eleva $25$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 \cdot 625}$

Paso 8.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.4.1

Multiplica $28$ por $- 1$ .

$f' (4) = \frac{- 28}{3 \cdot 625}$

Paso 8.2.4.2

Multiplica $3$ por $625$ .

$f' (4) = \frac{- 28}{1875}$

Paso 8.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (4) = - \frac{28}{1875}$

Paso 8.2.5

La respuesta final es $- \frac{28}{1875}$ .

$- \frac{28}{1875}$

Paso 8.3

En $t = 4$ la derivada es $- \frac{28}{1875}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(3, \infty)$ .

Decrecimiento en $(3, \infty)$ desde $f' (t) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 3, 3)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 3), (3, \infty)$

Paso 10