Cálculo Ejemplos

$e^{- 1.5 x^{2}}$

Paso 1

Escribe $e^{- 1.5 x^{2}}$ como una función.

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 1.5 x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 1.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Paso 2.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 1.5 x^{2}$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Como $- 1.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1.5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1.5$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Reordena los factores de $e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ .

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

Paso 2.1.3.2

Reordena los factores en $- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Paso 3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{- 1.5 x^{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{- 1.5 x^{2}}$ igual a $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ verdadera.

$x = 0$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - 3 \cdot - 1 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 1.5$ por $1$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5}$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

Paso 6.2.5

Combina $3$ y $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{e^{1.5}}$

Paso 6.2.6

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f' (- 1) = \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

Paso 6.2.7

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $1.5$ .

$f' (- 1) = \frac{3}{4.48168907}$

Paso 6.2.8

Divide $3$ por $4.48168907$ .

$f' (- 1) = 0.66939048$

Paso 6.2.9

La respuesta final es $0.66939048$ .

$0.66939048$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $0.66939048$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 1.5$ por $1$ .

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5}$

Paso 7.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

Paso 7.2.5

Combina $- 3$ y $\frac{1}{e^{1.5}}$ .

$f' (1) = \frac{- 3}{e^{1.5}}$

Paso 7.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (1) = - \frac{3}{e^{1.5}}$

Paso 7.2.7

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f' (1) = - \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

Paso 7.2.8

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $1.5$ .

$f' (1) = - \frac{3}{4.48168907}$

Paso 7.2.9

Divide $3$ por $4.48168907$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 0.66939048$

Paso 7.2.10

Multiplica $- 1$ por $0.66939048$ .

$f' (1) = - 0.66939048$

Paso 7.2.11

La respuesta final es $- 0.66939048$ .

$- 0.66939048$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $- 0.66939048$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0)$

Decrecimiento en: $(0, \infty)$

Paso 9