Cálculo Ejemplos

$y = 7 e^{x}$ , $y = 7 x e^{x}$ , $x = 0$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$7 e^{x} = 7 x e^{x}$

Paso 1.2

Resuelve $7 e^{x} = 7 x e^{x}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Paso 1.2.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Reescribe $\ln (7 e^{x})$ como $\ln (7) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Paso 1.2.2.2

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 x e^{x})$

Paso 1.2.2.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 x e^{x})$

Paso 1.2.2.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x e^{x})$

Paso 1.2.3

Expande el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $\ln (7 x e^{x})$ como $\ln (7 x) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + \ln (e^{x})$

Paso 1.2.3.2

Reescribe $\ln (7 x)$ como $\ln (7) + \ln (x)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + \ln (e^{x})$

Paso 1.2.3.3

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \ln (e)$

Paso 1.2.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \cdot 1$

Paso 1.2.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x$

Paso 1.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + x$

Paso 1.2.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (7) - \ln (7 x) = - x + x$

Paso 1.2.6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Paso 1.2.7

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 1.2.7.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Paso 1.2.7.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{1}{x}) = - x + x$

Paso 1.2.8

Suma $- x$ y $x$ .

$\ln (\frac{1}{x}) = 0$

Paso 1.2.9

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{0}$

Paso 1.2.10

Reescribe $\ln (\frac{1}{x}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{1}{x}$

Paso 1.2.11

Resuelve $x$

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Paso 1.2.11.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{x} = e^{0}$ .

$\frac{1}{x} = e^{0}$

Paso 1.2.11.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{x} = 1$

Paso 1.2.11.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.11.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1 + y = 7 x e^{x}$

Paso 1.2.11.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x + y = 7 x e^{x}$

Paso 1.2.11.4

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} = 1$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.11.4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} = 1$ por $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Paso 1.2.11.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.11.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.11.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Paso 1.2.11.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 1 x$

Paso 1.2.11.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.11.4.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 = x$

Paso 1.2.11.5

Reescribe la ecuación como $x = 1$ .

$x = 1$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 1$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$

Paso 1.3.2

Sustituye $1$ por $x$ en $y = 7 (1) \cdot e^{1}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 7 (1) \cdot e$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$y = 7 e$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, 7 e)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x - \int_{0}^{1} 7 e^{x} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $1$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - (7 e^{x}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - 7 e^{x} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Paso 3.4

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$7 \int_{0}^{1} x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Paso 3.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Paso 3.6

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Paso 3.7

Dado que $- 7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 7$ fuera de la integral.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Paso 3.8

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Paso 3.9

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.1

Evalúa $x e^{x}$ en $1$ y en $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Paso 3.9.2

Evalúa $e^{x}$ en $1$ y en $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Paso 3.9.3

Evalúa $e^{x}$ en $1$ y en $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Paso 3.9.4

Simplifica.

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Paso 3.9.4.1

Simplifica.

$7 (1 e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Paso 3.9.4.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$7 (e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Paso 3.9.4.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$7 (e + 0 \cdot 1 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Paso 3.9.4.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$7 (e + 0 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Paso 3.9.4.5

Suma $e$ y $0$ .

$7 (e - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Paso 3.9.4.6

Simplifica.

$7 (e - (e - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Paso 3.9.4.7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$7 (e - (e - 1 \cdot 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Paso 3.9.4.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Paso 3.9.4.9

Simplifica.

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - e^{0})$

Paso 3.9.4.10

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1 \cdot 1)$

Paso 3.9.4.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1)$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.10.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.10.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 (e - e - - 1) - 7 (e - 1)$

Paso 3.10.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$7 (e - e + 1) - 7 (e - 1)$

Paso 3.10.1.2

Resta $e$ de $e$ .

$7 (0 + 1) - 7 (e - 1)$

Paso 3.10.1.3

Suma $0$ y $1$ .

$7 \cdot 1 - 7 (e - 1)$

Paso 3.10.1.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$7 - 7 (e - 1)$

Paso 3.10.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$7 - 7 e - 7 \cdot - 1$

Paso 3.10.1.6

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$7 - 7 e + 7$

Paso 3.10.2

Suma $7$ y $7$ .

$14 - 7 e$

Paso 4