Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{x}$ , $y = 0$ , $x = 16$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sqrt{x} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\sqrt{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{2}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 1.3

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{16} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{16} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $16$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{16} \sqrt{x} - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{16} \sqrt{x} d x$

Paso 3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{16}$

Paso 3.5

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.5.1

Evalúa $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ en $16$ y en $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.2

Simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.2.4

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.2.6

Multiplica $2$ por $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.2.7

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 3.5.2.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 3.5.2.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 3.5.2.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Paso 3.5.2.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Paso 3.5.2.11

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{128}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Paso 3.5.2.12

Multiplica $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{128}{3} + 0$

Paso 3.5.2.13

Suma $\frac{128}{3}$ y $0$ .

$\frac{128}{3}$

Paso 4