Cálculo Ejemplos

$y = x - x^{5}$

Paso 1

Reordena $x$ y $- x^{5}$ .

$y = - x^{5} + x$

Paso 2

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = - x^{5} + x$

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{5} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 1$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 5 x^{4} + 1 = 0$ .

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Paso 4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 x^{4} = - 1$

Paso 4.2

Divide cada término en $- 5 x^{4} = - 1$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $- 5 x^{4} = - 1$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 x^{4}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{- 1}{- 5}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{4} = \frac{1}{5}$

Paso 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}$

Paso 4.4

Simplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}$ .

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Paso 4.4.1

Reescribe $\sqrt[4]{\frac{1}{5}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{5}}$

Paso 4.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}}$

Paso 4.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Paso 4.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Paso 4.4.4.2

Eleva $\sqrt[4]{5}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{1} {\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Paso 4.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{1 + 3}}$

Paso 4.4.4.4

Suma $1$ y $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{4}}$

Paso 4.4.4.5

Reescribe ${\sqrt[4]{5}}^{4}$ como $5$ .

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Paso 4.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{5}$ como $5^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{(5^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Paso 4.4.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Paso 4.4.4.5.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{4}{4}}}$

Paso 4.4.4.5.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.4.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{4}{4}}}$

Paso 4.4.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{1}}$

Paso 4.4.4.5.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5}$

Paso 4.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.5.1

Reescribe ${\sqrt[4]{5}}^{3}$ como $\sqrt[4]{5^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5^{3}}}{5}$

Paso 4.4.5.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 4.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 4.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}, - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = - x^{5} + x$ en $x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.2.1

Reescribe ${\sqrt[4]{125}}^{5}$ como $\sqrt[4]{125^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125^{5}}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2.2.2.2

Eleva $125$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{30517578125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2.2.2.3

Reescribe $30517578125$ como $125^{4} \cdot 125$ .

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Paso 5.2.2.2.3.1

Factoriza $244140625$ de $30517578125$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{244140625 (125)}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2.2.2.3.2

Reescribe $244140625$ como $125^{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125^{4} \cdot 125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2.2.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{3125} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2.2.4

Cancela el factor común de $125$ y $3125$ .

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Paso 5.2.2.4.1

Factoriza $125$ de $125 \sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 (\sqrt[4]{125})}{3125} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.4.2.1

Factoriza $125$ de $3125$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 5.2.3

Para escribir $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 5.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $25$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Paso 5.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- \sqrt[4]{125} + \sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Paso 5.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.1

Mueve $5$ a la izquierda de $\sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- \sqrt[4]{125} + 5 \cdot \sqrt[4]{125}}{25}$

Paso 5.2.6.2

Suma $- \sqrt[4]{125}$ y $5 \sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Paso 5.2.7

La respuesta final es $\frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$\frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Paso 6

Resuelve la función original $f (x) = - x^{5} + x$ en $x = - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(- \frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Elimina los paréntesis.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(- \frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}})) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.2.1

Mueve ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{5}$ por $- 1$ .

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Paso 6.2.2.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}})) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.2.3

Suma $5$ y $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{6} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = 1 (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.4

Multiplica $\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.5.1

Reescribe ${\sqrt[4]{125}}^{5}$ como $\sqrt[4]{125^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125^{5}}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.5.2

Eleva $125$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{30517578125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.5.3

Reescribe $30517578125$ como $125^{4} \cdot 125$ .

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Paso 6.2.2.5.3.1

Factoriza $244140625$ de $30517578125$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{244140625 (125)}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.5.3.2

Reescribe $244140625$ como $125^{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125^{4} \cdot 125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.5.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.6

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{3125} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.7

Cancela el factor común de $125$ y $3125$ .

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Paso 6.2.2.7.1

Factoriza $125$ de $125 \sqrt[4]{125}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 (\sqrt[4]{125})}{3125} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.7.2.1

Factoriza $125$ de $3125$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Paso 6.2.3

Para escribir $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 6.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $25$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Paso 6.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125} - \sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Paso 6.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.6.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125} - 5 \sqrt[4]{125}}{25}$

Paso 6.2.6.2

Resta $5 \sqrt[4]{125}$ de $\sqrt[4]{125}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Paso 6.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Paso 6.2.8

La respuesta final es $- \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$- \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Paso 7

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = - x^{5} + x$ son $y = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}, y = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}, y = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Paso 8