Cálculo Ejemplos

$5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8 = 0$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = 24$ y $c = 5 x^{2} - 10 x + 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8))}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.1.1

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 (5 x^{2}) - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.4

Simplifica.

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Paso 1.3.1.4.1

Multiplica $5$ por $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.4.2

Multiplica $- 10$ por $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.4.3

Multiplica $- 16$ por $8$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 128}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.5

Resta $128$ de $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 80 x^{2} + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.6

Factoriza $16$ de $- 80 x^{2} + 160 x + 448$ .

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Paso 1.3.1.6.1

Factoriza $16$ de $- 80 x^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.6.2

Factoriza $16$ de $160 x$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 448}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.6.3

Factoriza $16$ de $448$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.6.4

Factoriza $16$ de $16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.6.5

Factoriza $16$ de $16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.7

Reescribe $16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ como ${(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ .

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Paso 1.3.1.7.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$

Paso 1.3.3

Simplifica $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Paso 1.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.1

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 (5 x^{2}) - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1.4.1

Multiplica $5$ por $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.4.2

Multiplica $- 10$ por $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.4.3

Multiplica $- 16$ por $8$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 128}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.5

Resta $128$ de $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 80 x^{2} + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.6

Factoriza $16$ de $- 80 x^{2} + 160 x + 448$ .

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Paso 1.4.1.6.1

Factoriza $16$ de $- 80 x^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.6.2

Factoriza $16$ de $160 x$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 448}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.6.3

Factoriza $16$ de $448$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.6.4

Factoriza $16$ de $16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.6.5

Factoriza $16$ de $16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.7

Reescribe $16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ como ${(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ .

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Paso 1.4.1.7.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$

Paso 1.4.3

Simplifica $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Paso 1.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- 6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Paso 1.4.5

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Paso 1.4.6

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Paso 1.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ .

$y = \frac{- 1 (6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Paso 1.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Paso 1.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $24$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot (5 x^{2} - 10 x + 8)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 16 (5 x^{2}) - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.4

Simplifica.

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Paso 1.5.1.4.1

Multiplica $5$ por $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} - 16 (- 10 x) - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.4.2

Multiplica $- 10$ por $- 16$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 16 \cdot 8}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.4.3

Multiplica $- 16$ por $8$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 80 x^{2} + 160 x - 128}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.5

Resta $128$ de $576$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{- 80 x^{2} + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.6

Factoriza $16$ de $- 80 x^{2} + 160 x + 448$ .

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Paso 1.5.1.6.1

Factoriza $16$ de $- 80 x^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 160 x + 448}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.6.2

Factoriza $16$ de $160 x$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 448}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.6.3

Factoriza $16$ de $448$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.6.4

Factoriza $16$ de $16 (- 5 x^{2}) + 16 (10 x)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.6.5

Factoriza $16$ de $16 (- 5 x^{2} + 10 x) + 16 (28)$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.7

Reescribe $16 (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ como ${(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)$ .

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Paso 1.5.1.7.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{4^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 24 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (- 5 x^{2} + 10 x + 28)}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 24 \pm 2^{2} \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2 \cdot 4}$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$

Paso 1.5.3

Simplifica $\frac{- 24 \pm 4 \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{8}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Paso 1.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- 6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Paso 1.5.5

Factoriza $- 1$ de $- 6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}$ .

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Paso 1.5.5.1

Reescribe $- 6$ como $- 1 (6)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Paso 1.5.5.2

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Paso 1.5.5.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (6) - (\sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ .

$y = \frac{- 1 (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Paso 1.5.5.4

Reescribe $- 1 (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ como $- (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})$ .

$y = \frac{- (6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28})}{2}$

Paso 1.5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Paso 1.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2} \to f (x) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

$y = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2} \to f (x) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 4 y^{2} - 10 x + 24 y + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Paso 3.2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$10 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$10 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$10 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$10 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$10 x + 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$10 x + 8 y y' + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Paso 3.2.4.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 8 y y' - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 x + 8 y y' - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.4.3

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + \frac{d}{d x} [24 y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 y]$ .

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Paso 3.2.5.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 y$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [y]$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.5.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 y' + \frac{d}{d x} [8]$

Paso 3.2.6

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 y' + 0$

Paso 3.2.7

Simplifica.

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Paso 3.2.7.1

Suma $10 x + 8 y y' - 10 + 24 y'$ y $0$ .

$10 x + 8 y y' - 10 + 24 y'$

Paso 3.2.7.2

Reordena los términos.

$8 y y' + 10 x + 24 y' - 10$

Paso 3.3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$8 y y' + 10 x + 24 y' - 10 = 0$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

Resta $10 x$ de ambos lados de la ecuación.

$8 y y' + 24 y' - 10 = - 10 x$

Paso 3.5.1.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$8 y y' + 24 y' = - 10 x + 10$

Paso 3.5.2

Factoriza $8 y'$ de $8 y y' + 24 y'$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $8 y'$ de $8 y y'$ .

$8 y' y + 24 y' = - 10 x + 10$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $8 y'$ de $24 y'$ .

$8 y' y + 8 y' \cdot 3 = - 10 x + 10$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $8 y'$ de $8 y' y + 8 y' \cdot 3$ .

$8 y' (y + 3) = - 10 x + 10$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $8 y' (y + 3) = - 10 x + 10$ por $8 (y + 3)$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $8 y' (y + 3) = - 10 x + 10$ por $8 (y + 3)$ .

$\frac{8 y' (y + 3)}{8 (y + 3)} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y' (y + 3)}{8 (y + 3)} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y + 3)}{y + 3} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Paso 3.5.3.2.2

Cancela el factor común de $y + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y + 3)}{y + 3} = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Paso 3.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 10 x$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{8 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Paso 3.5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $8 (y + 3)$ .

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (4 (y + 3))} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Paso 3.5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (4 (y + 3))} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Paso 3.5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 5 x}{4 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Paso 3.5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{10}{8 (y + 3)}$

Paso 3.5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $10$ y $8$ .

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Paso 3.5.3.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{2 (5)}{8 (y + 3)}$

Paso 3.5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.3.3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $8 (y + 3)$ .

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{2 (5)}{2 (4 (y + 3))}$

Paso 3.5.3.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{2 \cdot 5}{2 (4 (y + 3))}$

Paso 3.5.3.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{5}{4 (y + 3)}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{5}{4 (y + 3)}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{5 x}{4 (y + 3)} + \frac{5}{4 (y + 3)} = 0$ .

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Paso 4.1

Resta $\frac{5}{4 (y + 3)}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{5 x}{4 (y + 3)} = - \frac{5}{4 (y + 3)}$

Paso 4.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$- 5 x = - 5$

Paso 4.3

Divide cada término en $- 5 x = - 5$ por $- 5$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $- 5 x = - 5$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 5}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Divide $- 5$ por $- 5$ .

$x = 1$

Paso 5

Solve the function $f (x) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$ at $x = 1$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 {(1)}^{2} + 10 (1) + 28}}{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 \cdot 1 + 10 (1) + 28}}{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 + 10 (1) + 28}}{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{- 5 + 10 + 28}}{2}$

Paso 5.2.1.4

Suma $- 5$ y $10$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{5 + 28}}{2}$

Paso 5.2.1.5

Suma $5$ y $28$ .

$f (1) = - \frac{6 - \sqrt{33}}{2}$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $- \frac{6 - \sqrt{33}}{2}$ .

$- \frac{6 - \sqrt{33}}{2}$

Paso 6

Solve the function $f (x) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 x^{2} + 10 x + 28}}{2}$ at $x = 1$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 {(1)}^{2} + 10 (1) + 28}}{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 \cdot 1 + 10 (1) + 28}}{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 + 10 (1) + 28}}{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{- 5 + 10 + 28}}{2}$

Paso 6.2.1.4

Suma $- 5$ y $10$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{5 + 28}}{2}$

Paso 6.2.1.5

Suma $5$ y $28$ .

$f (1) = - \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $- \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$ .

$- \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

Paso 7

The horizontal tangent lines are $y = - \frac{6 - \sqrt{33}}{2}, y = - \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{33}}{2}, y = - \frac{6 + \sqrt{33}}{2}$

Paso 8