Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 2.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 2.2.6

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 2.2.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + 0$

Paso 2.2.8

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2}$

Paso 2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$x - \frac{1}{x} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 4.1.2.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 4.1.2.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 4.1.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 4.1.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 4.1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x - \frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x - \frac{1}{x} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x - \frac{1}{x} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $x - \frac{1}{x} = 0$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $x - \frac{1}{x} = 0$ por $x$ .

$x \cdot x - \frac{1}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - \frac{1}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 1 = 0 x$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1$

Paso 5.4.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 5.4.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 5.4.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.4.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 5.4.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 5.4.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 1$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 1$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1} + 1$

Paso 9.1.2

Divide $1$ por $1$ .

$1 + 1$

Paso 9.2

Suma $1$ y $1$ .

$2$

Paso 10

$x = 1$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 1$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 1$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - \ln (1)$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1}{2} - \ln (1)$

Paso 11.2.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 0$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + 0$

Paso 11.2.2

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ .

$(1, \frac{1}{2})$ es un mínimo local

Paso 13