Cálculo Ejemplos

$y = 27 - x^{3}$ , $[1, 3]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$27 - x^{3} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $27 - x^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta $27$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{3} = - 27$

Paso 1.2.2

Suma $27$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{3} + 27 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3} + 27$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 27 = 0$

Paso 1.2.3.1.2

Reescribe $27$ como $- 1 (- 27)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 27 = 0$

Paso 1.2.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - 1 (- 27)$ .

$- (x^{3} - 27) = 0$

Paso 1.2.3.2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$- (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Paso 1.2.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Paso 1.2.3.4

Factoriza.

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Paso 1.2.3.4.1

Simplifica.

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Paso 1.2.3.4.1.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Paso 1.2.3.4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Paso 1.2.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Paso 1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0 + y = 0$

Paso 1.2.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 1.2.6

Establece $x^{2} + 3 x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $x^{2} + 3 x + 9$ igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Paso 1.2.6.2

Resuelve $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Paso 1.2.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 3$ y $c = 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Paso 1.2.6.2.3

Simplifica.

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Paso 1.2.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Paso 1.2.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.3.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.3.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.3.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.6.2.3.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.3.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.3.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.2.4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Paso 1.2.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.4.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.4.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.4.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.6.2.4.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.4.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.4.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.6.2.4.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.6.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 1.2.6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 1.2.6.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.2.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Paso 1.2.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.5.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.5.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.5.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.2.6.2.5.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.5.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.5.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.6.2.5.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.6.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 1.2.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Paso 1.2.6.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ verdadera.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 1.3

Sustituye $3$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 3$

$y = 0, x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2

Reordena $27$ y $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + 27$

Paso 3

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Paso 4

Integra para obtener el área entre $1$ y $3$ .

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Paso 4.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 - (0) d x$

Paso 4.2

Resta $0$ de $- x^{3} + 27$ .

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 27 d x$

Paso 4.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Paso 4.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 27 d x$

Paso 4.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Paso 4.6

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 27 d x$

Paso 4.7

Aplica la regla de la constante.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 27 x]_{1}^{3}$

Paso 4.8

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.8.1

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $3$ y en $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 27 x]_{1}^{3}$

Paso 4.8.2

Evalúa $27 x$ en $3$ y en $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Paso 4.8.3

Simplifica.

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Paso 4.8.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Paso 4.8.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Paso 4.8.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{81 - 1}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Paso 4.8.3.4

Resta $1$ de $81$ .

$- \frac{80}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Paso 4.8.3.5

Cancela el factor común de $80$ y $4$ .

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Paso 4.8.3.5.1

Factoriza $4$ de $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Paso 4.8.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.8.3.5.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Paso 4.8.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Paso 4.8.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{20}{1} + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Paso 4.8.3.5.2.4

Divide $20$ por $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Paso 4.8.3.6

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$- 20 + 27 \cdot 3 - 27 \cdot 1$

Paso 4.8.3.7

Multiplica $27$ por $3$ .

$- 20 + 81 - 27 \cdot 1$

Paso 4.8.3.8

Multiplica $- 27$ por $1$ .

$- 20 + 81 - 27$

Paso 4.8.3.9

Resta $27$ de $81$ .

$- 20 + 54$

Paso 4.8.3.10

Suma $- 20$ y $54$ .

$34$

Paso 5