Cálculo Ejemplos

$y = 4 x^{2}$ , $[0, \frac{7}{4}]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$4 x^{2} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $4 x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x^{2} = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1.1

Divide cada término en $4 x^{2} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.1.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.1.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{2} = 0$

Paso 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.2.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.3

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{7}{4}} 4 x^{2} d x - \int_{0}^{\frac{7}{4}} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $\frac{7}{4}$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{\frac{7}{4}} 4 x^{2} - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $4 x^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{7}{4}} 4 x^{2} d x$

Paso 3.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int_{0}^{\frac{7}{4}} x^{2} d x$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{7}{4}})$

Paso 3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{7}{4}})$

Paso 3.5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $\frac{7}{4}$ y en $0$ .

$4 ((\frac{{(\frac{7}{4})}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Paso 3.5.2.2

Simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{7}{4})}^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 3.5.2.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{7}{4})}^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 3.5.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$4 (\frac{{(\frac{7}{4})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 3.5.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$4 (\frac{{(\frac{7}{4})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 3.5.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$4 (\frac{{(\frac{7}{4})}^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 3.5.2.2.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$4 (\frac{{(\frac{7}{4})}^{3}}{3} - 0)$

Paso 3.5.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{7}{4})}^{3}}{3} + 0)$

Paso 3.5.2.2.4

Suma $\frac{{(\frac{7}{4})}^{3}}{3}$ y $0$ .

$4 \frac{{(\frac{7}{4})}^{3}}{3}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{4}$ .

$4 \frac{\frac{7^{3}}{4^{3}}}{3}$

Paso 3.6.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$4 \frac{\frac{343}{4^{3}}}{3}$

Paso 3.6.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$4 \frac{\frac{343}{64}}{3}$

Paso 3.6.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$4 (\frac{343}{64} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 3.6.3

Multiplica $\frac{343}{64} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 3.6.3.1

Multiplica $\frac{343}{64}$ por $\frac{1}{3}$ .

$4 \frac{343}{64 \cdot 3}$

Paso 3.6.3.2

Multiplica $64$ por $3$ .

$4 (\frac{343}{192})$

Paso 3.6.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.6.4.1

Factoriza $4$ de $192$ .

$4 \frac{343}{4 (48)}$

Paso 3.6.4.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{343}{4 \cdot 48}$

Paso 3.6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{343}{48}$

Paso 4