Cálculo Ejemplos

$f (x) = 7 {(2 - 8 x)}^{4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 {(2 - 8 x)}^{4}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [{(2 - 8 x)}^{4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(2 - 8 x)}^{4}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 2 - 8 x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - 8 x$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$7 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - 8 x$ .

$7 (4 {(2 - 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica $4$ por $7$ .

$28 ({(2 - 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$28 {(2 - 8 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

Paso 1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$28 {(2 - 8 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

Paso 1.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$28 {(2 - 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 1.3.5

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$28 {(2 - 8 x)}^{3} (- 8 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.6

Multiplica $- 8$ por $28$ .

$- 224 {(2 - 8 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 224 {(2 - 8 x)}^{3} \cdot 1$

Paso 1.3.8

Multiplica $- 224$ por $1$ .

$f' (x) = - 224 {(2 - 8 x)}^{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 224$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 224 {(2 - 8 x)}^{3}$ con respecto a $x$ es $- 224 \frac{d}{d x} [{(2 - 8 x)}^{3}]$ .

$- 224 \frac{d}{d x} [{(2 - 8 x)}^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 2 - 8 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - 8 x$ .

$- 224 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 224 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - 8 x$ .

$- 224 (3 {(2 - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $3$ por $- 224$ .

$- 672 ({(2 - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 8 x])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$- 672 {(2 - 8 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 672 {(2 - 8 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x])$

Paso 2.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$- 672 {(2 - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Paso 2.3.5

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 672 {(2 - 8 x)}^{2} (- 8 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 8$ por $- 672$ .

$5376 {(2 - 8 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5376 {(2 - 8 x)}^{2} \cdot 1$

Paso 2.3.8

Multiplica $5376$ por $1$ .

$f'' (x) = 5376 {(2 - 8 x)}^{2}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5376 {(2 - 8 x)}^{2}$ .

$5376 {(2 - 8 x)}^{2}$