Cálculo Ejemplos

$f (x) = 6^{3 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 6^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [6^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $6$ .

$6^{u} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$6^{3 x} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6^{3 x} \ln (6) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6^{3 x} \ln (6) (3 \cdot 1)$

Paso 1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$6^{3 x} \ln (6) \cdot 3$

Paso 1.2.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $6^{3 x} \ln (6)$ .

$f' (x) = 3 \cdot 6^{3 x} \ln (6)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $3 \ln (6)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cdot 6^{3 x} \ln (6)$ con respecto a $x$ es $3 \ln (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$ .

$3 \ln (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 6^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$3 \ln (6) (\frac{d}{d u} [6^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $6$ .

$3 \ln (6) (6^{u} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$3 \ln (6) (6^{3 x} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.3

Eleva $\ln (6)$ a la potencia de $1$ .

$3 (6^{3 x} (\ln^{1} (6) \ln (6)) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.4

Eleva $\ln (6)$ a la potencia de $1$ .

$3 (6^{3 x} (\ln^{1} (6) \ln^{1} (6)) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 (6^{3 x} {\ln (6)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.6

Suma $1$ y $1$ .

$3 (6^{3 x} \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 2.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6) \cdot 1$

Paso 2.10

Multiplica $9$ por $1$ .

$f'' (x) = 9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $9 \ln^{2} (6)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 \cdot 6^{3 x} \ln^{2} (6)$ con respecto a $x$ es $9 \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$ .

$9 \ln^{2} (6) \frac{d}{d x} [6^{3 x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 6^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$9 \ln^{2} (6) (\frac{d}{d u} [6^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $6$ .

$9 \ln^{2} (6) (6^{u} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$9 \ln^{2} (6) (6^{3 x} \ln (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.3

Eleva $\ln (6)$ a la potencia de $1$ .

$9 (6^{3 x} (\ln^{2} (6) \ln^{1} (6)) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (6^{3 x} {\ln (6)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.5

Suma $2$ y $1$ .

$9 (6^{3 x} \ln^{3} (6) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7

Multiplica $3$ por $9$ .

$27 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$27 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6) \cdot 1$

Paso 3.9

Multiplica $27$ por $1$ .

$f''' (x) = 27 \cdot 6^{3 x} \ln^{3} (6)$

Paso 4

La tercera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $27 \cdot (6^{3 x} \ln^{3} (6))$ .

$27 \cdot (6^{3 x} \ln^{3} (6))$