Cálculo Ejemplos

$f (x) = 10 x - 10 e^{- x}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x - 10 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$10 - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$10 - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$10 - 10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$10 - 10 (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 1.1.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$10 - 10 (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 1.1.3.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$10 - 10 (- e^{- x})$

Paso 1.1.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$10 + 10 e^{- x}$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 10 e^{- x} + 10$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 e^{- x} + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$10 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.2.2.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.2.2.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$10 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.2.2.8

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 e^{- x} + \frac{d}{d x} [10]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.3.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 10 e^{- x} + 0$

Paso 1.2.3.2

Suma $- 10 e^{- x}$ y $0$ .

$f'' (x) = - 10 e^{- x}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 e^{- x}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 10 e^{- x} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 10 e^{- x} = 0$

Paso 2.2

Divide cada término en $- 10 e^{- x} = 0$ por $- 10$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $- 10 e^{- x} = 0$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $e^{- x}$ por $1$ .

$e^{- x} = \frac{0}{- 10}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $0$ por $- 10$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 2.4

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.5

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 3

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión