Cálculo Ejemplos

$y = \sec (x)$ , $(\frac{π}{6}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Paso 1

Obtén la derivada de la función. Para obtener la pendiente de la tangente de la ecuación a la línea, evalúa la derivada en el nivel deseado de $x$ .

$\frac{d}{d x} (\sec (x))$

Paso 2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 3

La derivada de la ecuación en los términos de $y$ también se puede representar como $f' (x)$ .

$f' (x) = \sec (x) \tan (x)$

Paso 4

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{6}$ en la expresión.

$f' (\frac{π}{6}) = \sec (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{6})$

Paso 5

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{6})$ es $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 6

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 7.5

Suma $1$ y $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.6.4.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 7.6.5

Evalúa el exponente.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \tan (\frac{π}{6})$

Paso 8

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 9

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Paso 9.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Paso 9.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3}$

Paso 9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Paso 9.5

Suma $1$ y $1$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3}$

Paso 9.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{9}$

Paso 10

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Paso 10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Paso 10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9}$

Paso 10.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3}{9}$

Paso 10.5

Evalúa el exponente.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 3}{9}$

Paso 11

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{6}{9}$

Paso 12

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

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Paso 12.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 (2)}{9}$

Paso 12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Paso 12.2.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Paso 12.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{π}{6}) = \frac{2}{3}$

Paso 13

La derivada en $(\frac{π}{6}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ es $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$