Cálculo Ejemplos

$h (x) = 6 \cos^{4} (x) \sin (x)$ , $[0, π]$

Paso 1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$h (x)$ es continua en $[0, π]$ .

$h (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $h$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\int_{0}^{π} 6 \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Paso 5

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{0}^{π} \cos^{4} (x) \sin (x) d x)$

Paso 6

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 6.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 6.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 6.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (π)$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Paso 6.5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Paso 6.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 6.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Paso 6.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 \int_{1}^{- 1} - u^{4} d u)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (- \int_{1}^{- 1} u^{4} d u))$

Paso 8

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 \int_{1}^{- 1} u^{4} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{- 1}))$

Paso 10

Combina $\frac{1}{5}$ y $u^{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{u^{5}}{5}]_{1}^{- 1}))$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $\frac{u^{5}}{5}$ en $- 1$ y en $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5}))$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Paso 11.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1^{5}}{5}))$

Paso 11.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5}))$

Paso 11.2.4

Resta $\frac{1}{5}$ de $- \frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- 2 (\frac{1}{5})))$

Paso 11.2.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (\frac{- 2}{5}))$

Paso 11.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (- 6 (- \frac{2}{5}))$

Paso 11.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (6 (\frac{2}{5}))$

Paso 11.2.8

Combina $6$ y $\frac{2}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{6 \cdot 2}{5})$

Paso 11.2.9

Multiplica $6$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{π - 0} (\frac{12}{5})$

Paso 12

Simplifica el denominador.

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Paso 12.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π + 0} \cdot \frac{12}{5}$

Paso 12.2

Suma $π$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{12}{5}$

Paso 13

Combina fracciones.

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Paso 13.1

Multiplica $\frac{1}{π}$ por $\frac{12}{5}$ .

$A (x) = \frac{12}{π \cdot 5}$

Paso 13.2

Mueve $5$ a la izquierda de $π$ .

$A (x) = \frac{12}{5 π}$

Paso 14