Cálculo Ejemplos

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ , $[2, 5]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $g (t)$ es continua en $[2, 5]$ o no, obtén el dominio de $g (t) = \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ .

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Paso 1.1

Establece el radicando en $\sqrt{5 + t^{2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$5 + t^{2} \geq 0$

Paso 1.2

Resuelve $t$

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Paso 1.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la desigualdad.

$t^{2} \geq - 5$

Paso 1.2.2

Como el lado izquierdo tiene una potencia par, siempre es positivo para todos los números reales.

Todos los números reales

Paso 1.3

Establece el denominador en $\frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{5 + t^{2}} = 0$

Paso 1.4

Resuelve $t$

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Paso 1.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{5 + t^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 + t^{2}}$ como ${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(5 + t^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(5 + t^{2})}^{1} = 0^{2}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Simplifica.

$5 + t^{2} = 0^{2}$

Paso 1.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$5 + t^{2} = 0$

Paso 1.4.3

Resuelve $t$

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Paso 1.4.3.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$t^{2} = - 5$

Paso 1.4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 5}$

Paso 1.4.3.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Paso 1.4.3.3.1

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$t = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Paso 1.4.3.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Paso 1.4.3.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$t = \pm i \sqrt{5}$

Paso 1.4.3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.4.3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = i \sqrt{5}$

Paso 1.4.3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - i \sqrt{5}$

Paso 1.4.3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Paso 1.5

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${t | t \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${t | t \in ℝ}$

Paso 2

$g (t)$ es continua en $[2, 5]$ .

$g (t)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $g$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t)$

Paso 5

Sea $u = 5 + t^{2}$ . Entonces $d u = 2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 5 + t^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $5 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t^{2}]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5.1.3

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Paso 5.1.5

Suma $0$ y $2 t$ .

$2 t$

Paso 5.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{lower} = 5 + 2^{2}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$u_{lower} = 5 + 4$

Paso 5.3.2

Suma $5$ y $4$ .

$u_{lower} = 9$

Paso 5.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = 5 + t^{2}$ .

$u_{upper} = 5 + 5^{2}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$u_{upper} = 5 + 25$

Paso 5.5.2

Suma $5$ y $25$ .

$u_{upper} = 30$

Paso 5.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 30$

Paso 5.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

Paso 6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{9}^{30} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 8

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Paso 8.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

Paso 8.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

Paso 8.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot \int_{9}^{30} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}}]_{9}^{30})$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $2 u^{\frac{1}{2}}$ en $30$ y en $9$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot ((2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.1

Cancela el factor común.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}))$

Paso 10.2.3.2

Reescribe la expresión.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Paso 10.2.4

Evalúa el exponente.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3))$

Paso 10.2.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}} - 6))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 (30^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Paso 11.2.2

Cancela el factor común.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 30^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Paso 11.2.3

Reescribe la expresión.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot - 6)$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)))$

Paso 11.3.2

Cancela el factor común.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3))$

Paso 11.3.3

Reescribe la expresión.

$A (t) = \frac{1}{5 - 2} (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Paso 12

Resta $2$ de $5$ .

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot (30^{\frac{1}{2}} - 3)$

Paso 13

Aplica la propiedad distributiva.

$A (t) = \frac{1}{3} \cdot 30^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Paso 14

Combina $\frac{1}{3}$ y $30^{\frac{1}{2}}$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3$

Paso 15

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))$

Paso 15.2

Cancela el factor común.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Paso 15.3

Reescribe la expresión.

$A (t) = \frac{30^{\frac{1}{2}}}{3} - 1$

Paso 16