Cálculo Ejemplos

$y = \frac{7}{\sqrt{x}}$ , $(4, \frac{7}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = \frac{7}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 1.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 1.3.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 1.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Paso 1.8.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Paso 1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Paso 1.10

Combina $x^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 1.11

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$- 7 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 1.12

Combina $- 7$ y $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Paso 1.13

Simplifica la expresión.

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Paso 1.13.1

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.13.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.14

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$- \frac{7}{2 {(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.15

Simplifica.

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Paso 1.15.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.15.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{7}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 1.15.1.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 1.15.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 1.15.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.15.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{7}{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 1.15.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{7}{2 \cdot 2^{3}}$

Paso 1.15.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{7}{2^{1 + 3}}$

Paso 1.15.1.4

Suma $1$ y $3$ .

$- \frac{7}{2^{4}}$

Paso 1.15.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{7}{16}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{7}{16}$ y un punto dado $(4, \frac{7}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7}{2}) = - \frac{7}{16} \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{7}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{7}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{7}{2} = 0 + 0 - \frac{7}{16} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{7}{16} x - \frac{7}{16} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{7}{16}$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} - \frac{7}{16} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{16}$ al numerador.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{16} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4 (4)} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Cancela el factor común.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.5

Reescribe la expresión.

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7}{4} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2.4

Combina $\frac{- 7}{4}$ y $- 1$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{- 7 \cdot - 1}{4}$

Paso 2.3.1.2.5

Multiplica $- 7$ por $- 1$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{x \cdot 7}{16} + \frac{7}{4}$

Paso 2.3.1.3

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{7}{2} = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{7}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $\frac{7}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7 \cdot 2}{4}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7 + 7 \cdot 2}{4}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{7 + 14}{4}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $7$ y $14$ .

$y = - \frac{7 x}{16} + \frac{21}{4}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{7}{16} x) + \frac{21}{4}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{7}{16} x + \frac{21}{4}$

Paso 3