Cálculo Ejemplos

$\frac{36 x}{x^{2} + 36}$ , $(- 3, - \frac{12}{5})$

Paso 1

Escribe $\frac{36 x}{x^{2} + 36}$ como una ecuación.

$y = \frac{36 x}{x^{2} + 36}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 3$ y $y = - \frac{12}{5}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{36 x}{x^{2} + 36}$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 36}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 36}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 36$ .

$36 \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$36 \frac{(x^{2} + 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $x^{2} + 36$ por $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 36$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.3.5

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$36 \frac{x^{2} + 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.8

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$36 \frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.9

Combina $36$ y $\frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{36 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{36 (- x^{2}) + 36 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 36 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.10.2.2

Multiplica $36$ por $36$ .

$\frac{- 36 x^{2} + 1296}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.11

Evalúa la derivada en $x = - 3$ .

$\frac{- 36 {(- 3)}^{2} + 1296}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.12

Simplifica.

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Paso 2.12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.12.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 36 \cdot 9 + 1296}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.12.1.2

Multiplica $- 36$ por $9$ .

$\frac{- 324 + 1296}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.12.1.3

Suma $- 324$ y $1296$ .

$\frac{972}{{({(- 3)}^{2} + 36)}^{2}}$

Paso 2.12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.12.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{972}{{(9 + 36)}^{2}}$

Paso 2.12.2.2

Suma $9$ y $36$ .

$\frac{972}{45^{2}}$

Paso 2.12.2.3

Eleva $45$ a la potencia de $2$ .

$\frac{972}{2025}$

Paso 2.12.3

Cancela el factor común de $972$ y $2025$ .

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Paso 2.12.3.1

Factoriza $81$ de $972$ .

$\frac{81 (12)}{2025}$

Paso 2.12.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.12.3.2.1

Factoriza $81$ de $2025$ .

$\frac{81 \cdot 12}{81 \cdot 25}$

Paso 2.12.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{81 \cdot 12}{81 \cdot 25}$

Paso 2.12.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12}{25}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{12}{25}$ y un punto dado $(- 3, - \frac{12}{5})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{12}{5}) = \frac{12}{25} \cdot (x - (- 3))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + \frac{12}{5} = \frac{12}{25} \cdot (x + 3)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{12}{25} \cdot (x + 3)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y + \frac{12}{5} = 0 + 0 + \frac{12}{25} \cdot (x + 3)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + \frac{12}{5} = \frac{12}{25} \cdot (x + 3)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + \frac{12}{5} = \frac{12}{25} x + \frac{12}{25} \cdot 3$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{12}{25}$ y $x$ .

$y + \frac{12}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{12}{25} \cdot 3$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $\frac{12}{25} \cdot 3$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Combina $\frac{12}{25}$ y $3$ .

$y + \frac{12}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{12 \cdot 3}{25}$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $12$ por $3$ .

$y + \frac{12}{5} = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $\frac{12}{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12}{5}$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $- \frac{12}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 3.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $25$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Multiplica $\frac{12}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12 \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Paso 3.3.2.3.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36}{25} - \frac{12 \cdot 5}{25}$

Paso 3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36 - 12 \cdot 5}{25}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.5.1

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{36 - 60}{25}$

Paso 3.3.2.5.2

Resta $60$ de $36$ .

$y = \frac{12 x}{25} + \frac{- 24}{25}$

Paso 3.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{12 x}{25} - \frac{24}{25}$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{12}{25} x - \frac{24}{25}$

Paso 4