Cálculo Ejemplos

$\sin (x + y) = 2 x - 2 y$ , $(π, π)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = π$ y $y = π$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (x + y)) = \frac{d}{d x} (2 x - 2 y)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 1.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Paso 1.2.2

Diferencia.

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Paso 1.2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 1.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 1.3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 - 2 y'$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.1.1

Simplifica $\cos (x + y) (1 + y')$ .

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Paso 1.5.1.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Paso 1.5.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\cos (x + y) (1 + y') = 2 - 2 y'$

Paso 1.5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

Paso 1.5.1.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.1.1.4.1

Multiplica $\cos (x + y)$ por $1$ .

$\cos (x + y) + \cos (x + y) y' = 2 - 2 y'$

Paso 1.5.1.1.4.2

Reordena los factores en $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) = 2 - 2 y'$

Paso 1.5.2

Suma $2 y'$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x + y) + y' \cos (x + y) + 2 y' = 2$

Paso 1.5.3

Resta $\cos (x + y)$ de ambos lados de la ecuación.

$y' \cos (x + y) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

Paso 1.5.4

Factoriza $y'$ de $y' \cos (x + y) + 2 y'$ .

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Paso 1.5.4.1

Factoriza $y'$ de $y' \cos (x + y)$ .

$y' (\cos (x + y)) + 2 y' = 2 - \cos (x + y)$

Paso 1.5.4.2

Factoriza $y'$ de $2 y'$ .

$y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2 = 2 - \cos (x + y)$

Paso 1.5.4.3

Factoriza $y'$ de $y' (\cos (x + y)) + y' \cdot 2$ .

$y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$

Paso 1.5.5

Divide cada término en $y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ por $\cos (x + y) + 2$ y simplifica.

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Paso 1.5.5.1

Divide cada término en $y' (\cos (x + y) + 2) = 2 - \cos (x + y)$ por $\cos (x + y) + 2$ .

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Paso 1.5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.5.2.1

Cancela el factor común de $\cos (x + y) + 2$ .

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Paso 1.5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (\cos (x + y) + 2)}{\cos (x + y) + 2} = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Paso 1.5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} + \frac{- \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Paso 1.5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2}{\cos (x + y) + 2} - \frac{\cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Paso 1.5.5.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - \cos (x + y)}{\cos (x + y) + 2}$

Paso 1.7

Evalúa $x = π$ y $y = π$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $π$ en la expresión.

$\frac{2 - \cos ((π) + y)}{\cos ((π) + y) + 2}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $π$ en la expresión.

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

Paso 1.7.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{2 - \cos (π + π)}{\cos (π + π) + 2}$

Paso 1.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.4.1

Suma $π$ y $π$ .

$\frac{2 - \cos (2 π)}{\cos (π + π) + 2}$

Paso 1.7.4.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{2 - \cos (0)}{\cos (π + π) + 2}$

Paso 1.7.4.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 1}{\cos (π + π) + 2}$

Paso 1.7.4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 - 1}{\cos (π + π) + 2}$

Paso 1.7.4.5

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{\cos (π + π) + 2}$

Paso 1.7.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.5.1

Suma $π$ y $π$ .

$\frac{1}{\cos (2 π) + 2}$

Paso 1.7.5.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{1}{\cos (0) + 2}$

Paso 1.7.5.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{1 + 2}$

Paso 1.7.5.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{3}$ y un punto dado $(π, π)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = \frac{1}{3} \cdot (x - (π))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{3} \cdot (x - π)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - π = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - π = \frac{1}{3} \cdot (x - π)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - π = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} (- π)$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$y - π = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} (- π)$

Paso 2.3.1.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $π$ .

$y - π = \frac{x}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $π$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.3.2.3

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- π + π \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x - π + π \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.6

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$y = \frac{x - π + 3 π}{3}$

Paso 2.3.2.7

Suma $- π$ y $3 π$ .

$y = \frac{x + 2 π}{3}$

Paso 2.3.2.8

Divide la fracción $\frac{x + 2 π}{3}$ en dos fracciones.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2 π}{3}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2 π}{3}$

Paso 3