Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{5}}$ , $(- 2, - \frac{1}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 2$ y $y = - \frac{1}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 6)}^{5})}^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{5 \cdot 2}}$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.2.3

Mueve $4$ a la izquierda de ${(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{5}]}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x^{2} - 6$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 6$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 6$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - x^{4} (5 {(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.4.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} (2 x))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} - 6)}^{4}$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 5 x^{4} (2 \cdot {(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.4.5.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{4} ({(x^{2} - 6)}^{4} x)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 (x^{1} x^{4}) {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{1 + 4} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.7

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.8.1.1

Factoriza $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ de $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3} - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ .

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Paso 1.8.1.1.1

Factoriza $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ de $4 {(x^{2} - 6)}^{5} x^{3}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) - 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.8.1.1.2

Factoriza $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ de $- 10 x^{5} {(x^{2} - 6)}^{4}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.8.1.1.3

Factoriza $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3}$ de $2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6)) + 2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 5 x^{2})$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 (x^{2} - 6) - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} + 2 \cdot - 6 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.8.1.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (2 x^{2} - 12 - 5 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.8.1.4

Resta $5 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- 3 x^{2} - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.8.1.5

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2} - 12$ .

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Paso 1.8.1.5.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) - 12)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.8.1.5.2

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2}) + 3 (- 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.8.1.5.3

Factoriza $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (- 4)$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (3 (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

$\frac{2 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} \cdot 3 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.8.1.6

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.8.2

Cancela el factor común de ${(x^{2} - 6)}^{4}$ y ${(x^{2} - 6)}^{10}$ .

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Paso 1.8.2.1

Factoriza ${(x^{2} - 6)}^{4}$ de $6 {(x^{2} - 6)}^{4} x^{3} (- x^{2} - 4)$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{10}}$

Paso 1.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.8.2.2.1

Factoriza ${(x^{2} - 6)}^{4}$ de ${(x^{2} - 6)}^{10}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{4} (6 x^{3} (- x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 6)}^{4} {(x^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 x^{3} (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.8.3

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.8.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2}) - 1 (4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.8.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.8.6

Reescribe $- (x^{2} + 4)$ como $- 1 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{6 x^{3} (- 1 (x^{2} + 4))}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.8.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(6 x^{3}) (x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.9

Evalúa la derivada en $x = - 2$ .

$- \frac{(6 {(- 2)}^{3}) ({(- 2)}^{2} + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.10.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} (4 + 4)}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.10.1.2

Suma $4$ y $4$ .

$- \frac{6 {(- 2)}^{3} \cdot 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.10.1.3

Multiplica $8$ por $6$ .

$- \frac{48 {(- 2)}^{3}}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.10.1.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{({(- 2)}^{2} - 6)}^{6}}$

Paso 1.10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.10.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(4 - 6)}^{6}}$

Paso 1.10.2.2

Resta $6$ de $4$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{{(- 2)}^{6}}$

Paso 1.10.2.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $6$ .

$- \frac{48 \cdot - 8}{64}$

Paso 1.10.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.10.3.1

Multiplica $48$ por $- 8$ .

$- \frac{- 384}{64}$

Paso 1.10.3.2

Divide $- 384$ por $64$ .

$- - 6$

Paso 1.10.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$6$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $6$ y un punto dado $(- 2, - \frac{1}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot (x - (- 2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $6 \cdot (x + 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + \frac{1}{2} = 0 + 0 + 6 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + \frac{1}{2} = 6 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 6 \cdot 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$y + \frac{1}{2} = 6 x + 12$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 6 x + 12 - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = 6 x + 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $12$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 6 x + \frac{12 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $12$ por $2$ .

$y = 6 x + \frac{24 - 1}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Resta $1$ de $24$ .

$y = 6 x + \frac{23}{2}$

Paso 3