Cálculo Ejemplos

$y = \frac{4 + \csc (x)}{8 - \csc (x)}$ , $(\frac{π}{6}, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{6}$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 + \csc (x)$ y $g (x) = 8 - \csc (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [4 + \csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + \csc (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.3

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [8 - \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - \csc (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.4.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (4 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.4.5

Multiplica.

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Paso 1.4.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.4.5.2

Multiplica $4 + \csc (x)$ por $1$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.5

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{(8 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (4 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{- 8 (\csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.1.2

Multiplica $- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

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Paso 1.6.3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.1.2.2

Multiplica $\csc (x)$ por $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.1.2.3

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.1.2.4

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.1.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.1.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 4 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 (\csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.1.5

Multiplica $- \csc (x) \csc (x)$ .

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Paso 1.6.3.1.5.1

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.1.5.2

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.2

Combina los términos opuestos en $- 8 \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ .

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Paso 1.6.3.2.1

Resta $\csc^{2} (x) \cot (x)$ de $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x) + 0}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.2.2

Suma $- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)$ y $0$ .

$\frac{- 8 \csc (x) \cot (x) - 4 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.3.3

Resta $4 \csc (x) \cot (x)$ de $- 8 \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{- 12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.6.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{12 \csc (x) \cot (x)}{{(8 - \csc (x))}^{2}}$

Paso 1.7

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{6}$ .

$- \frac{12 \csc (\frac{π}{6}) \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.8.1.1

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{6})$ es $2$ .

$- \frac{12 \cdot 2 \cot (\frac{π}{6})}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Paso 1.8.1.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{6})$ es $\sqrt{3}$ .

$- \frac{12 \cdot 2 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Paso 1.8.1.3

Multiplica $12$ por $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - \csc (\frac{π}{6}))}^{2}}$

Paso 1.8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.8.2.1

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{6})$ es $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 1 \cdot 2)}^{2}}$

Paso 1.8.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{{(8 - 2)}^{2}}$

Paso 1.8.2.3

Resta $2$ de $8$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{6^{2}}$

Paso 1.8.2.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{24 \sqrt{3}}{36}$

Paso 1.8.3

Cancela el factor común de $24$ y $36$ .

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Paso 1.8.3.1

Factoriza $12$ de $24 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{36}$

Paso 1.8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.8.3.2.1

Factoriza $12$ de $36$ .

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 (3)}$

Paso 1.8.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{12 (2 \sqrt{3})}{12 \cdot 3}$

Paso 1.8.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ y un punto dado $(\frac{π}{6}, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ al numerador.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.2.3.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Paso 2.3.1.2.3.3

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{6}$

Paso 2.3.1.2.3.4

Factoriza $2$ de $6$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 (3)}$

Paso 2.3.1.2.3.5

Cancela el factor común.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{2 (- \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.1.2.3.6

Reescribe la expresión.

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- π}{3}$

Paso 2.3.1.2.4

Multiplica $\frac{- \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{- π}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{- \sqrt{3} (- π)}{3 \cdot 3}$

Paso 2.3.1.2.5

Multiplica.

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Paso 2.3.1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{1 \sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

Paso 2.3.1.2.5.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{3 \cdot 3}$

Paso 2.3.1.2.5.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$y - 1 = - \frac{x (2 \sqrt{3})}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

Paso 2.3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y - 1 = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9}$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + 1$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{9} + \frac{9}{9}$

Paso 2.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{2 x \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Paso 2.3.3.3

Reordena los términos.

$y = - (\frac{2 \sqrt{3}}{3} x) + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Paso 2.3.3.4

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3} π + 9}{9}$

Paso 3