Cálculo Ejemplos

$6 x y + π \sin (y) = 62 π$ , $(3, \frac{7 π}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = \frac{7 π}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (62 π)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x y + π \sin (y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x y$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $π \sin (y)$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

Paso 1.2.4.2

Reordena los términos.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

Paso 1.3

Como $62 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $62 π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.1.1

Reordena los factores en $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ .

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

Paso 1.5.2

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

Paso 1.5.3

Factoriza $y'$ de $6 x y' + π y' \cos (y)$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $y'$ de $6 x y'$ .

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $y'$ de $π y' \cos (y)$ .

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ .

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

Paso 1.5.4

Divide cada término en $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ por $6 x + π \cos (y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.4.1

Divide cada término en $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ por $6 x + π \cos (y)$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.4.2.1

Cancela el factor común de $6 x + π \cos (y)$ .

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Paso 1.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Paso 1.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 3$ y $y = \frac{7 π}{2}$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$- \frac{6 y}{6 (3) + π \cos (y)}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $\frac{7 π}{2}$ en la expresión.

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (3) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Paso 1.7.3

Combina $6$ y $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (3) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Paso 1.7.4.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

Paso 1.7.4.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cos (\frac{π}{2})}$

Paso 1.7.4.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + π \cdot 0}$

Paso 1.7.4.5

Multiplica $π$ por $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18 + 0}$

Paso 1.7.4.6

Suma $18$ y $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{18}$

Paso 1.7.5

Multiplica $6$ por $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{18}$

Paso 1.7.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.7.6.1

Reduce la expresión $\frac{42 π}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.7.6.1.1

Factoriza $2$ de $42 π$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{18}$

Paso 1.7.6.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{18}$

Paso 1.7.6.1.3

Cancela el factor común.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{18}$

Paso 1.7.6.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{18}$

Paso 1.7.6.2

Divide $21 π$ por $1$ .

$- \frac{21 π}{18}$

Paso 1.7.7

Cancela el factor común de $21$ y $18$ .

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Paso 1.7.7.1

Factoriza $3$ de $21 π$ .

$- \frac{3 (7 π)}{18}$

Paso 1.7.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.7.2.1

Factoriza $3$ de $18$ .

$- \frac{3 (7 π)}{3 (6)}$

Paso 1.7.7.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 6}$

Paso 1.7.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{7 π}{6}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{7 π}{6}$ y un punto dado $(3, \frac{7 π}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7 π}{2}) = - \frac{7 π}{6} \cdot (x - (3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 - \frac{7 π}{6} \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 π}{6} x - \frac{7 π}{6} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{7 π}{6}$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} - \frac{7 π}{6} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7 π}{6}$ al numerador.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{6} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 (2)} \cdot - 3$

Paso 2.3.1.2.3.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Cancela el factor común.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.5

Reescribe la expresión.

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2.4

Combina $\frac{- 7 π}{2}$ y $- 1$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{- 7 π \cdot - 1}{2}$

Paso 2.3.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{x (7 π)}{6} + \frac{7 π}{2}$

Paso 2.3.1.3

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{7 π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{2} + \frac{7 π}{2}$

Paso 2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 7 x π}{6} + \frac{7 π + 7 π}{2}$

Paso 2.3.2.3

Suma $7 π$ y $7 π$ .

$y = \frac{- 7 x π}{6} + \frac{14 π}{2}$

Paso 2.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{14 π}{2}$

Paso 2.3.2.4.2

Cancela el factor común de $14$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $14 π$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2}$

Paso 2.3.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2 (1)}$

Paso 2.3.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{2 (7 π)}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{7 x π}{6} + \frac{7 π}{1}$

Paso 2.3.2.4.2.2.4

Divide $7 π$ por $1$ .

$y = - \frac{7 x π}{6} + 7 π$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Mueve $x$ .

$y = - \frac{7 π x}{6} + 7 π$

Paso 2.3.3.2

Reordena los términos.

$y = - (\frac{7 π}{6} x) + 7 π$

Paso 2.3.3.3

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{7 π}{6} x + 7 π$

Paso 3