Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ , $(4, \frac{3}{16})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = \frac{3}{16}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}]$

Paso 1.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{2}}$ como ${({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{2 \cdot - 1}]$

Paso 1.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x)}^{- 2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = x^{2} - 3 x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 3 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 3 x$ .

$3 (- 2 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- 6 ({(x^{2} - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x])$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Paso 1.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3 \cdot 1)$

Paso 1.3.6

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 6 {(x^{2} - 3 x)}^{- 3} (2 x - 3)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$ .

$\frac{- 6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

Paso 1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$

Paso 1.4.3

Reordena los factores de $- \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}} (2 x - 3)$ .

$- (2 x - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Paso 1.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (2 x) - - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Paso 1.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(- 2 x - - 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Paso 1.4.6

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x^{2} - 3 x)}^{3}}$

Paso 1.4.7

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.7.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

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Paso 1.4.7.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x \cdot x - 3 x)}^{3}}$

Paso 1.4.7.1.2

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x \cdot x + x \cdot - 3)}^{3}}$

Paso 1.4.7.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{{(x (x - 3))}^{3}}$

Paso 1.4.7.2

Aplica la regla del producto a $x (x - 3)$ .

$(- 2 x + 3) \frac{6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Paso 1.4.8

Multiplica $- 2 x + 3$ por $\frac{6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 6}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Paso 1.4.9

Mueve $6$ a la izquierda de $- 2 x + 3$ .

$\frac{6 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Paso 1.4.10

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{6 (- (2 x) + 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Paso 1.4.11

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Paso 1.4.12

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{6 (- (2 x - 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Paso 1.4.13

Reescribe $- (2 x - 3)$ como $- 1 (2 x - 3)$ .

$\frac{6 (- 1 (2 x - 3))}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Paso 1.4.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 (2 x - 3)}{x^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$- \frac{6 (2 (4) - 3)}{{(4)}^{3} {((4) - 3)}^{3}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$- \frac{6 (8 - 3)}{4^{3} {(4 - 3)}^{3}}$

Paso 1.6.1.2

Resta $3$ de $8$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{4^{3} {(4 - 3)}^{3}}$

Paso 1.6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.6.2.1

Resta $3$ de $4$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{4^{3} \cdot 1^{3}}$

Paso 1.6.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{6 \cdot 5}{64 \cdot 1^{3}}$

Paso 1.6.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{6 \cdot 5}{64 \cdot 1}$

Paso 1.6.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.6.3.1

Multiplica $6$ por $5$ .

$- \frac{30}{64 \cdot 1}$

Paso 1.6.3.2

Multiplica $64$ por $1$ .

$- \frac{30}{64}$

Paso 1.6.3.3

Cancela el factor común de $30$ y $64$ .

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Paso 1.6.3.3.1

Factoriza $2$ de $30$ .

$- \frac{2 (15)}{64}$

Paso 1.6.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$- \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 32}$

Paso 1.6.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 32}$

Paso 1.6.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{15}{32}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{15}{32}$ y un punto dado $(4, \frac{3}{16})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{3}{16}) = - \frac{15}{32} \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{3}{16} = 0 + 0 - \frac{15}{32} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15}{32} x - \frac{15}{32} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{15}{32}$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} - \frac{15}{32} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{15}{32}$ al numerador.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{32} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $4$ de $32$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 (8)} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.2.3.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 \cdot 8} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Cancela el factor común.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{4 \cdot 8} \cdot (4 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.5

Reescribe la expresión.

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15}{8} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2.4

Combina $\frac{- 15}{8}$ y $- 1$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{- 15 \cdot - 1}{8}$

Paso 2.3.1.2.5

Multiplica $- 15$ por $- 1$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{x \cdot 15}{32} + \frac{15}{8}$

Paso 2.3.1.3

Mueve $15$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{3}{16} = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{3}{16}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8} + \frac{3}{16}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $\frac{15}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{16}$

Paso 2.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Multiplica $\frac{15}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{3}{16}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2}{16} + \frac{3}{16}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{15 \cdot 2 + 3}{16}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $15$ por $2$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{30 + 3}{16}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $30$ y $3$ .

$y = - \frac{15 x}{32} + \frac{33}{16}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{15}{32} x) + \frac{33}{16}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{15}{32} x + \frac{33}{16}$

Paso 3