Cálculo Ejemplos

$f (t) = \frac{t}{t^{2} + 14}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = t^{2} + 14$ .

$\frac{(t^{2} + 14) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 14]}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 14) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 14]}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $t^{2} + 14$ por $1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 14]}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 14$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [14]$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [14])}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t (2 t + \frac{d}{d t} [14])}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $14$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $14$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$\frac{t^{2} + 14 - t (2 t)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{2} + 14 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{t^{2} + 14 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.7

Resta $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.8

Simplifica.

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Paso 1.1.8.1

Factoriza $- 1$ de $- t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2}) + 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.8.2

Reescribe $14$ como $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (t^{2}) - 1 (- 14)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.8.3

Factoriza $- 1$ de $- (t^{2}) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (t^{2} - 14)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4

Reescribe $- (t^{2} - 14)$ como $- 1 (t^{2} - 14)$ .

$\frac{- 1 (t^{2} - 14)}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.1.8.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (t) = - \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$ .

$- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{t^{2} - 14}{{(t^{2} + 14)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$t^{2} - 14 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $t$ .

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Paso 2.3.1

Suma $14$ a ambos lados de la ecuación.

$t^{2} = 14$

Paso 2.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$t = \pm \sqrt{14}$

Paso 2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = \sqrt{14}$

Paso 2.3.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - \sqrt{14}$

Paso 2.3.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = \sqrt{14}, - \sqrt{14}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{t}{t^{2} + 14}$ en cada valor $t$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $t = \sqrt{14}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\sqrt{14}$ por $t$ .

$\frac{\sqrt{14}}{{(\sqrt{14})}^{2} + 14}$

Paso 4.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe ${\sqrt{14}}^{2}$ como $14$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{14}$ como $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2} + 14}$

Paso 4.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 14}$

Paso 4.1.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

Paso 4.1.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

Paso 4.1.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{14}}{14^{1} + 14}$

Paso 4.1.2.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{14}}{14 + 14}$

Paso 4.1.2.2

Suma $14$ y $14$ .

$\frac{\sqrt{14}}{28}$

Paso 4.2

Evalúa en $t = - \sqrt{14}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- \sqrt{14}$ por $t$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{{(- \sqrt{14})}^{2} + 14}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{14}$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{14}}^{2} + 14}$

Paso 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{1 {\sqrt{14}}^{2} + 14}$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica ${\sqrt{14}}^{2}$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{{\sqrt{14}}^{2} + 14}$

Paso 4.2.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{14}}^{2}$ como $14$ .

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Paso 4.2.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{14}$ como $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2} + 14}$

Paso 4.2.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 14}$

Paso 4.2.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

Paso 4.2.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{\frac{2}{2}} + 14}$

Paso 4.2.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sqrt{14}}{14^{1} + 14}$

Paso 4.2.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{- \sqrt{14}}{14 + 14}$

Paso 4.2.2.1.5

Suma $14$ y $14$ .

$\frac{- \sqrt{14}}{28}$

Paso 4.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sqrt{14}}{28}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\sqrt{14}, \frac{\sqrt{14}}{28}), (- \sqrt{14}, - \frac{\sqrt{14}}{28})$

Paso 5