Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 3$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) \cos (x) + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.8

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.2.11

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Suma $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ y $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 1.1.4.2

Reordena $- \sin^{2} (x)$ y $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Paso 1.1.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.1.4.4

Expande $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.1.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.1.4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.5

Combina los términos opuestos en $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Paso 1.1.4.5.1

Reordena los factores en los términos $\cos (x) (- \sin (x))$ y $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.5.2

Suma $- \cos (x) \sin (x)$ y $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.5.3

Suma $\cos (x) \cos (x)$ y $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.6.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 1.1.4.6.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.6.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.6.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.6.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Paso 1.1.4.6.3

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 1.1.4.6.3.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Paso 1.1.4.6.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Paso 1.1.4.6.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Paso 1.1.4.6.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Paso 1.1.4.7

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\cos (2 x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Paso 2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (0)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Paso 2.4

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.4.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 2.6

Resuelve $x$

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Paso 2.6.1

Simplifica.

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Paso 2.6.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.6.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.6.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.6.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.6.1.5

Resta $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.6.2

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.6.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.6.2.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.6.2.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.7

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

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Paso 2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.7.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.7.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.8

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\sin (x) \cos (x) + 3$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 3$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{4}) + 3$

Paso 4.1.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 4.1.2.1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.1.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.1.2.1.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.1.2.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.1.2.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.1.2.1.3.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 3$

Paso 4.1.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.1.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 3$

Paso 4.1.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 3$

Paso 4.1.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 3$

Paso 4.1.2.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 3$

Paso 4.1.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{1}}{4} + 3$

Paso 4.1.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{4} + 3$

Paso 4.1.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.1.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} + 3$

Paso 4.1.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.1.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.1.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} + 3$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1 + 6}{2}$

Paso 4.1.2.5.2

Suma $1$ y $6$ .

$\frac{7}{2}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $\frac{3 π}{4}$ por $x$ .

$\sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 3$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 3$

Paso 4.2.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 3$

Paso 4.2.2.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \cos (\frac{π}{4})) + 3$

Paso 4.2.2.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 3$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 4.2.2.1.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.2.2.1.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.2.2.1.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.2.2.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.2.2.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.2.2.1.5.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + 3$

Paso 4.2.2.1.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.2.2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 3$

Paso 4.2.2.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 3$

Paso 4.2.2.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 3$

Paso 4.2.2.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + 3$

Paso 4.2.2.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2^{1}}{4} + 3$

Paso 4.2.2.1.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{2}{4} + 3$

Paso 4.2.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.2.2.1.7.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4} + 3$

Paso 4.2.2.1.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1.7.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.2.2.1.7.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + 3$

Paso 4.2.2.1.7.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{2} + 3$

Paso 4.2.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.2.2.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 4.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 4.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.2.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{- 1 + 6}{2}$

Paso 4.2.2.5.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$\frac{5}{2}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{7}{2}), (\frac{3 π}{4} + π n, \frac{5}{2})$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5