Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}]$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ como ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ .

$32 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 6 x - 7$ .

$32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 6 x - 7$ .

$32 (- {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$- 32 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x - 7])$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 6 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.1.3.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.1.3.6

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Paso 1.1.3.7

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

Paso 1.1.3.8

Suma $2 x - 6$ y $0$ .

$- 32 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

Paso 1.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 32 \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Combina los términos.

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Paso 1.1.5.1.1

Combina $- 32$ y $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$\frac{- 32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Paso 1.1.5.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$

Paso 1.1.5.2

Reordena los factores de $- \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ .

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 6 = 0$

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Paso 2.3

Establece $2 x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $2 x - 6$ igual a $0$ .

$2 x - 6 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $2 x - 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 6$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $2 x = 6$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 6$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Paso 2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.3.1

Divide $6$ por $2$ .

$x = 3$

Paso 2.4

Establece $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ igual a $0$ .

$\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$32 = 0$

Paso 2.4.2.2

Como $32 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (2 x - 6) \frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} = 0$ verdadera.

$x = 3$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{32}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $x^{2} - 6 x - 7$ con el método AC.

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Paso 3.2.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 7, 1$

Paso 3.2.1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

${((x - 7) (x + 1))}^{2} = 0$

Paso 3.2.1.2

Aplica la regla del producto a $(x - 7) (x + 1)$ .

${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2.3

Establece ${(x - 7)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.3.1

Establece ${(x - 7)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Paso 3.2.3.2

Resuelve ${(x - 7)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 3.2.3.2.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 3.2.4

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.4.1

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2.4.2

Resuelve ${(x + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.4.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.2.4.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 7, - 1$

Paso 3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 1, x = 7$

Paso 4

Evalúa $\frac{32}{x^{2} - 6 x - 7}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 3$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $3$ por $x$ .

$\frac{32}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 - 7}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{32}{9 - 6 \cdot 3 - 7}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$\frac{32}{9 - 18 - 7}$

Paso 4.1.2.1.3

Resta $18$ de $9$ .

$\frac{32}{- 9 - 7}$

Paso 4.1.2.1.4

Resta $7$ de $- 9$ .

$\frac{32}{- 16}$

Paso 4.1.2.2

Divide $32$ por $- 16$ .

$- 2$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{32}{{(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 7}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{32}{1 - 6 \cdot - 1 - 7}$

Paso 4.2.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{32}{1 + 6 - 7}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.2.1

Suma $1$ y $6$ .

$\frac{32}{7 - 7}$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $7$ de $7$ .

$\frac{32}{0}$

Paso 4.2.2.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{32}{0}$

Paso 4.2.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Evalúa en $x = 7$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $7$ por $x$ .

$\frac{32}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 - 7}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{32}{49 - 6 \cdot 7 - 7}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $7$ .

$\frac{32}{49 - 42 - 7}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 4.3.2.2.1

Resta $42$ de $49$ .

$\frac{32}{7 - 7}$

Paso 4.3.2.2.2

Resta $7$ de $7$ .

$\frac{32}{0}$

Paso 4.3.2.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{32}{0}$

Paso 4.3.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(3, - 2)$

Paso 5