Cálculo Ejemplos

$\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Paso 1

Escribe $\frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$ como una función.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}} d x$

Paso 4

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - 2 x + 3) x^{- 3} d x$

Paso 6

Expande $(3 x^{2} - 2 x + 3) x^{- 3}$ .

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (3 x^{2} - 2 x) x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 3 x^{2} x^{- 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Paso 6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 x^{2 - 3} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Paso 6.4

Resta $3$ de $2$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 x \cdot x^{- 3} + 3 x^{- 3} d x$

Paso 6.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 (x^{1} x^{- 3}) + 3 x^{- 3} d x$

Paso 6.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 x^{- 1} - 2 x^{1 - 3} + 3 x^{- 3} d x$

Paso 6.7

Resta $3$ de $1$ .

$\int 3 x^{- 1} - 2 x^{- 2} + 3 x^{- 3} d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Paso 8

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Paso 9

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Paso 10

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int x^{- 2} d x + \int 3 x^{- 3} d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \int 3 x^{- 3} d x$

Paso 12

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{- 3} d x$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica.

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Paso 14.1.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Paso 14.1.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Paso 14.2

Simplifica.

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Paso 14.3

Simplifica.

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Paso 14.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Paso 14.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

Paso 14.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x + 3}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $3 \ln (| x |) + \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$