Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Paso 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} x + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 5.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 5.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 2$ .

$\int \frac{x^{2} (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 5.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x^{2} (x + 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (x + 2) d x$

Paso 5.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2} (x + 2) d x$

Paso 5.3.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (x + 2) d x$

Paso 5.3.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

Paso 5.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (x + 2) d x$

Paso 5.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (x + 2) d x$

Paso 5.3.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} (x + 2) d x$

Paso 6

Expande $x^{\frac{3}{2}} (x + 2)$ .

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{\frac{3}{2}} x + x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 d x$

Paso 6.2

Reordena $x^{\frac{3}{2}}$ y $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x + 2 \cdot x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 6.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} x^{1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{\frac{3}{2} + 1} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 6.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 6.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{3 + 2}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 6.7

Suma $3$ y $2$ .

$\int x^{\frac{5}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 6.8

Reordena $x^{\frac{5}{2}}$ y $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{5}{2}} d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Paso 8

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

$\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 11.3

Reordena los términos.

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$